B1. Свойства элементарных функций

Задание. Для начала каждого из предложений А – В подберите его окончание 1 – 6 так, чтобы получилось верное утверждение.

Решение

Ответ. А1Б3В6

B2. Свойства функции

Задание. Выберите три утверждения, которые являются свойствами нечетной функции y=f(x), определенной на промежутке [-7; 7]. График функции f(x) при x≥0 изображен на рисунке. 

1	Наибольшее значение функции на промежутке [-7; 7] равно 4.
2	Функция возрастает на промежутке [-2,5; -1].
3	Число -5 является нулем функции
4	График функции симметричен относительно оси ординат Oy.
5	f(-3)=5
6	f(-6)>f(-2)

Теория тут

Решение.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (значит, утверждение 4 не верно) поэтому, изобразив график функции на промежутке [-7; 7] определим, какие из остальных утверждений верны:

1.     Не верно, так как есть значения функции, больше 4.

2.     Верно (см. рисунок)

3.     Верно (см. рисунок)

4.     Не верно

5.     Не верно, f(-3)<0

6.     Верно, так как f(-6)>0, f(-2)<0, значит, f(-6)>f(-2).

Ответ. 236

B2. Функции и их свойства

Задание. Функция y=f(x) определена на множестве действительных чисел R, является четной и периодической с наименьшим положительным периодом T=22 и при xϵ[-11; 0] задается графиком (см. рисунок). Выберите три верных утверждения. 

1) Наименьшее значение функции равно 0.

      2)  f(61)=3.

      3) Функция принимает только отрицательные значения на промежутке (0; 8).

      4) Функция убывает на промежутке [4; 11].

      5) Функция имеет четыре нуля на промежутке [-9; 16].

      6)  f(-4)<f(2).

Анализ. Будем внимательны при записи ответа. Ответ записывайте строго в том виде, в каком это просят в задании! В задании есть подсказка о том, что верных ответа три. Для решения можно либо воспользоваться определением четной функции, либо понимать, что график четной функции симметричен относительно ось ординат и часть свойств функции исследовать по графику

Теория. Определением четной функции: f(-x)=f(x). T называется наименьшим положительным периодом функции, если для любого x из области ее определения верно f(x)=f(x+T)=f(x-T). Больше теории по функциям

Решение.

1)    Очевидно неверно, так как функция имеет значения, меньше чем 0 (-3 – наименьшее значение)

    2)    f(61)=f(61-22) =f(39-22)= f(17-22) =f(-5)=3 По определению наименьшего положительного периода функции), значит – верно.

  3)    По графику видно, что на промежутке
(0; 8) функция принимает только положительные значения, значит – неверно.

  4)    По графику видно, что на промежутке [4; 11] функция убывает, значит – верно.

      5)    По графику можно определить три нуля функции – это точки -8; 0; 8. Воспользовавшись определением наименьшего положительного периода определяем еще нули функции: -8+22=14; -8-22=-30; 0+22=22; 0-22=-22; 8+22=30; 8-22=-14. Получаем, на промежутке [-9; 16] нули функции: -8; 0; 8; 14. Значит, четыре нуля, и значит – верно. По идее в задании была подсказка, что верных три ответа и этого должно хватить, но на всякий случай, проверим последнее утверждение:

6)    Определяем по графику f(-4)=4 – это наибольшее значение функции и оно уже не может быть меньше какого-то другого, но найдем f(2)=f(-2)=4 это по определению четной функции, или же посмотреть f(2)=4 по графику. Получаем, f(-4)=f(2), то есть утверждение о том, что f(-4)<f(2) – неверно.

Ответ. 245

B2. Свойства графика функции y=sin x.

Задание. Выберите три утверждения, которые являются свойствами функции
y=sin x, заданной на промежутке [-3π; 0].

1.     Функция является периодической с периодом 2π.

2.     Наибольшее значение функции равно 1.

3.     Функция является четной.

4.     Функция убывает на промежутке [-3π/2; -π/2].

5.     Функция имеет пять нулей.

6.     Функция принимает только положительные значения на промежутке      (-2π; -π).

Анализ. Необходимо знать, как выглядит график функции y=sin x

И уметь определять свойства функции по графику
Теория. Функции. Основные понятия
Решение.
Теперь  смотрим на функцию на заданной области [-3π; 0] и определяем ее свойства по графику:

1.     Не верно, так как на заданном промежутке не выполняется условие периодичности функции (для любого x из области определения y(x)=y(x+2πn))

2.     Верно, наибольшее значение функции равно 1 (y(-3π/2)=1).

3.     Не верно, так как для четности функции необходимо выполнение условия: область определения симметрична относительно начала координат, что не выполняется, так как область определения [-3π; 0].

4.     Верно, при значениях x, принадлежащих этому промежутку, функция убывает (спускается вниз с горы).

5.     Не верно, функция имеет четыре нуля.

6.     Верно, при значениях x, принадлежащих этому промежутку, функция принимает только положительные значения (график располагается выше оси Ox).

Ответ. 246

B2, свойства функции

Задание

Анализ. Для решения этого задания удобнее всего определять свойства функции по графику, однако нам известна только лишь часть графика (для x ≥ 0). Поэтому построим сначала график на всей области определения функции, учитывая то, что функция нечетная, а дальше будем определять ее свойства.

Теория будет полезно изучить

Решение. Для начала отобразим график симметрично относительно оси Oy.

Если бы в задании было сказано, что функция четная, это был бы ее график, однако нам сказано, что функция нечетная, а ее график, как известно, симметричен относительно начала координат, поэтому мы достроенную часть теперь отображаем симметрично относительно оси Ox:

Полученный график и будет графиком нечетной функции (красно-черная ломаная).

Определяем ее свойства

1. Функция возрастает на промежутке [-2,5; -0,5]. Промежутки возрастания, убывания (монотонности) и промежутки знакопостоянства указываются по x, поэтому находим по x указанный промежуток и смотрим, как ведет себя функция на нем. При x=-2,5 значение функции приблизительно -3,2, а при x=-0,5 значение функции приблизительно -0,5. По графику видно, что функция на этом промежутке возрастает. Верно.

2. f(-3)=4. В скобках указано значение x ищем его по оси Ox. Соответствующее ему значение функции -4, а не 4, как сказано. Не верно.

3. Наименьшее значение функции равно -4. Верно, это видно по графику.

4. График функции симметричен относительно Oy. Так как функция нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат, а не оси Oy (это график четной функции). Не верно

5. f(x)>0 при x∈[-3; -1]. Находим по x точки -3 и -1 и соответствующие им значения функции. Видим, что на всем промежутке [-3; -1] значения функции отрицательны, т.е. f(x)<0, значит не верно.

6. Функция имеет три нуля. Графически нули функции - это пересечение с осью Ox. График функции пересекает ось Ox трижды. Верно.

Ответ. 136

Функции (основные понятия)

Функции

Функцией y=f(x) называется зависимость (закон), при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.

Областью определения функции называется множество чисел, на которых задается функция (или это те числа, которые можно подставить в уравнение, задающее функцию, вместо x). Графически область определения смотрится по x. Переменная x называется независимой или аргументом.

Область (множество) значений функции – это множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция (или это то множество, которое получается, если подставить в функцию вместо x все возможные значения аргумента). Графически область значений смотрится по y. Переменная y называется зависимой или функцией.

Ноль функции – это такое значение x, при котором значение функции равно 0. Для того, чтобы найти ноль функции нужно вместо y в задании функции подставить ноль и решить полученное уравнение 0 = f(x).

Для нахождения точек пересечения с осями координат, нужно:

С осью Ox: вместо y в задании функции подставить ноль и решить полученное уравнение        0 = f(x). Получатся точки, абсцисса (x) которых будет равна корню полученного уравнения, а ордината (y) равна 0. Таких точек может быть несколько в зависимости от количества корней уравнения 0 = f(x).

С осью Oy: вместо x в задании функции подставить ноль и вычислить соответствующее значение y: y = f(0). Получится точка, абсцисса (x) которых будет равна нулю, а ордината (y) равна полученному значению. Если у функции существует точка пересечения с осью Oy, то она единственна!

Если функция непрерывна между двумя нулями функции (нет точек, которые не входят в область определения), то она знакопостоянна: или положительна, или отрицательна. Для того, чтобы определить промежутки, на которых функция положительна, составляют неравенство f(x)>0 и решают его. Для того, чтобы определить промежутки, на которых функция отрицательна, составляют неравенство f(x)<0 и решают его.

Функция называется возрастающей, на некотором промежутке, если для любых x1 и x2 из этого промежутка таких, что x1>x2 верно f(x1)>f(x2).

Функция называется убывающей, на некотором промежутке, если для любых x1 и x2 из этого промежутка таких, что x1>x2 верно f(x1)<f(x2).
Промежутки монотонности (возрастания и убывания) определяются с помощью производной функции. Для того, чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает, составляют неравенство f ' (x)>0 и решают его.  Для того, чтобы определить, на каком промежутке функция убывает, составляют неравенство f ' (x)<0 и решают его. Точки, в которых f ' (x0)=0 называются подозрительными на экстремум. Если при переходе через точку x0 производная функции меняет свой знак c "+" на "-", то точка называется точкой максимума. Для того, чтобы найти максимум функции, нужно подставить эту точку в формулу и найти f(x0).Если при переходе через точку x0 производная функции меняет свой знак c "-" на "+", то точка называется точкой минимума. Для того, чтобы найти минимум функции, нужно подставить эту точку в формулу и найти f(x0).. Максимумов и минимумов у функции может быть несколько!

Внимание! Если известно, что точка принадлежит графику функции, то при подстановке координат этой функции в уравнение, задающее функцию, она обратит данное уравнение в верное равенство. Таким образом, для того, чтобы проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику некоторой функции, ее координаты подставляют в уравнение, задающее функцию и, если эта подстановка обращает уравнение в верное числовое равенство, то точка принадлежит графику; в противном случае - не принадлежит.

Наибольший из максимумов функции (если функция определена на всем множестве) называется наибольшим значением функции. Наименьший из минимумов функции (если функция определена на всем множестве) называется наименьшим значением функции. Наибольшее и наименьшее значение у функции всегда единственно!

А теперь посмотрим, как определить все эти свойства по графику функции.

На рисунке схематично изображен график некоторой функции y=f(x)

Перечислим ее свойства:

Задания по данной теме, встречающиеся на РТ
B2, 3 этап, РТ 18
B2, 1 этап, РТ 19
B2, 2 этап, РТ 19
B2, 3 этап, РТ 19
B2, 1 этап, РТ 20