Арифметическая
прогрессия
Арифметической
прогрессией называется числовая последовательность, у которой каждый следующий
член, начиная со второго, больше предыдущего на одно и то же число. Число, на
которое каждый следующий член больше(!!!) предыдущего, называют разностью
арифметической прогрессии (обозначают d).
Если каждый следующий член меньше
предыдущего, значит разность прогрессии будет отрицательной. Формула n-го члена показывает зависимость между номером члена в
прогрессии и его значением. Для того, чтобы найти, чему равно значение первого
члена прогрессии, необходимо в формулу подставить вместо n=1. Чтобы найти значение второго члена – подставить n=2 и т.д. Например, если арифметическая прогрессия (an) задана формулой n-го члена an=9-3n, для нахождения
первых четырех ее членов подставляем вместо n в формулу соответственно 1, 2, 3 и 4:
a1=9-3∙1=6; a2=9-3∙2=3 a3=9-3∙3=0; a4=9-3∙4=-3.
Разность этой
прогрессии равна d=a4-
a3=
a3-
a2=
a2-
a1=-3.
Выведем (именно
выведем, а не запомним) формулы, касающиеся арифметической прогрессии.
Замечаем, что a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d
…
an=a1+(n-1)d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d
…
an=a1+(n-1)d
Таким образом, для
нахождения любого члена арифметической прогрессии необходимо знать его номер,
первый член и разность этой прогрессии.
Вернемся к прогрессии,
заданной формулой n-го члена an=9-3n. Выписав несколько ее
первых членов (например, 10), заметим, что сумма членов, равноотстоящих от
концов прогрессии, равна сумме крайних членов.
a1=9-3∙1=6; a2=9-3∙2=3 a3=9-3∙3=0;
a4=9-3∙4=-3 a5=9-3∙5=-6; a6=9-3∙6=-9 a7=9-3∙7=-12; a8=9-3∙8=-15 a9=9-3∙9=-18; a10=9-3∙10=-21
Действительно, a1+ a10 = a2 + a9 = a3+ a8=…=-15
Поэтому, для нахождения
суммы первых десяти членов прогрессии (an) не нужно искать все члены и
составлять сумму из десяти слагаемых, можно найти первый и десятый ее члены,
вычислить их сумму и умножить на количество пар (если слагаемых 10, то пар
будет 5). Обозначим, S10=(a1+a10)∙5=-15∙5=-75
Эта формула верна и для
нахождения суммы первых n членов
любой арифметической прогрессии. Можно найти сумму первого и n-го членов и
умножить эту сумму на n/2 – количество пар. Принято
записывать в следующем виде:
Подставив вместо an=a1+(n-1)d,
получим другой вид этой же формулы:
Так же при решении
задач, связанных с арифметической прогрессией часто может понадобиться свойство
членов арифметической прогрессии: каждый член прогрессии, начиная со второго,
равен среднему арифметическому соседних членов:
РТ-20, 1 этап (В1)
РТ-20, 1 этап (В6)
РТ-21, 1 этап (А16)
