B6. Планиметрия.

Задание. Биссектриса угла ABC (ﮮABC=60°) пересекает сторону AD в точке H так, что AH:HD=2:1, BH=8. Найдите значение S², где S – площадь параллелограмма ABCD.

Решение

Треугольник ABH – равнобедренный (углы ABH и AHB равны углу HBC, а значит, равны между собой. ﮮABH=ﮮHBC т.к. BH – биссектриса по условию, ﮮAHB=ﮮHBC=30° как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей BH

Ответ. 768

B5. Тригонометрическое уравнение

 Задание. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный и наименьший положительный корни уравнения sin 9x∙cos 9°+cos 9x∙sin 9°=-1. В ответ запишите их произведение.

Решение

При n=0, x=-11 – наибольший отрицательный

При n=1, x=-11+40=29 – наименьший положительный

Произведение: -11∙29=-319

Ответ. -319

B4. Угол между плоскостями

 

Теория  

Решение. Пусть CH – расстояние от точки C до плоскости β, а CM – расстояние от точки C до прямой l. По определению расстояния CH – перпендикуляр на плоскость β, CM┴l. Теорема о трех перпендикулярах: CH – перпендикуляр, CM – наклонная MH – проекция, прямая l перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и проекции. 

φ – угол между плоскостями, по определению он равен углу между перпендикулярами к прямой l, то есть между прямыми HM и CM, то есть углу CMH. Треугольник CHM – прямоугольный, у которого катет CH в 16 раз меньше гипотенузы CM. Обозначив CH=x, CM=16x, по теореме Пифагора MH=x√255, значит, tg φ – это отношение CH к MH, то есть tg φ = 1/√255, тогда 1/(tg² φ)=255.

Ответ. 255

B3. Текстовая задача

 Задание. Из спичечного коробка взяли третью часть спичек, в результате в коробке осталось более 27 спичек. Если бы из коробки взяли 22 спички, то их осталось бы меньше половины. Сколько спичек было в коробке первоначально?

Решение

Так как третья часть спичек должна выражаться натуральным числом, то первоначальное количество спичек должно делиться на 3. Пусть в коробке было 3x спичек, тогда, после того, как из коробка взяли третью часть, а это x спичек, в коробке осталось 3x-x=2x спичек. По условию задачи 2x>27. Если бы из коробка, в котором лежит 3x спичек, взяли 22 спички, в нем осталось бы 3x-22. По условию задачи это число больше половины от 3x, то есть больше 1,5x. Составим систему неравенств и решим ее.

По смыслу задачи подходит только натуральное значение x, то есть x=14. Значит, изначально в коробке было 14∙3=42 спички.

Ответ. 42

B2. Обратные тригонометрические функции

 Задание. Выберите три верных неравенства

Теория

Решение

Ответ 245

B1. Свойства элементарных функций

Задание. Для начала каждого из предложений А – В подберите его окончание 1 – 6 так, чтобы получилось верное утверждение.

Решение

Ответ. А1Б3В6