B1. Свойства элементарных функций

Задание. Для начала каждого из предложений А – В подберите его окончание 1 – 6 так, чтобы получилось верное утверждение.

Решение

Ответ. А1Б3В6

A9. График S=S(t)

Задание. На рисунке приведены графики движения велосипедиста и мотоциклиста. Определите, сколько минут находился в пути мотоциклист к тому моменту, когда велосипедист проехал 2 км. 

Варианты ответов

1. 5;
2. 9;
3. 12;
4. 15;
5. 18.

Анализ. По рисунку видно, что мотоциклист отправился в путь позже велосипедиста.
Решение.

На оси S находим значение 2 км. (так как одна клетка равна 0,5 км, то это будет 4 клетки). Находим, какому значению t соответствует это значение S=4 для велосипедиста. Получаем 5 клеток. Так как одна клетка равна 3 минутам, значит, велосипедист проехал 2 км за 5*3=15 минут. Но по графику видно, что мотоциклист отправился в путь на 6 минут (2 клетки) позже, значит, он находился в пути 15-6=9 минут.

Ответ. 2

A6. Линейная функция

Задание. Укажите номер уравнения, графиком которого может быть прямая, изображенная на рисунке 

Варианты ответов.

1. 7x+2y=9;
2. 2x+7y=14;
3. 7x-2y=14;
4. 2x-7y=14;
5. 7x+2y=14.

Анализ. Прямая проходит через точки (2; 0) и (0;7). Подставляем их в уравнения. То из уравнений, которому удовлетворяют координаты обеих точек и задает изображенную прямую
Решение.

1)    7∙2+2∙0≠9 (не подходит)

2)    2∙2+7∙0≠14 (не подходит)

3)    7∙2-2∙0=14

7∙0-2∙7≠14 (не подходит)

4)    2∙2-7∙0≠14 (не подходит)

5)    7∙2+2∙0=14

7∙0+2∙7=14 (подходит)

Ответ. 5

А9, прямая пропорциональность.

Задание

Анализ. Изменение времени для каждой из функций Δt=2,5 часа (от 0 до 2,5). Однако изменение расстояния у каждой функции разное. Простой подстановкой можно найти верную функцию.

Теория. Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в функцию, получаем верное числовое равенство.

Решение.
I способ
Первая (снизу) функция проходит через точку (2,5; 60). Подставляем ее координаты:
60=42・2,5
60=105 (не верно)
Вторая функция проходит через точку (2,5; 75). Подставляем ее координаты:
75=42・2,5
75=105 (не верно)
Третья функция проходит через точку (2,5; 90). Подставляем ее координаты:
90=42・2,5
90=105 (не верно)
Четвертая функция проходит через точку (2,5; 105). Подставляем ее координаты:
105=42・2,5
105=105 (верно)
Значит, четвертая (снизу) функция - искомая. Расстояние у этой функции изменяется на ΔS=105 км (с 0 до 105)
Ответ. 2
II способ

Очевидно, что подстановка - слишком длинное решение для данного задания, так как правая часть равенства остается неизменной: 42・2,5, что равно 105. Это обусловлено тем, что абсцисса точки всегда остается 2,5. Поэтому быстрее было бы решить следующим образом:

S(t)=42t

S(t)=42・2,5

S(t)=105

Ответ. 2

А9, линейная функция (прямая пропорциональность)

Задание:

Анализ: Так как оси y соответствует v (скорость), то она является в данном случае функцией, зависящей от t (так как t соответствует оси x, независимой переменной). Учтем, что ось времени измеряется в часах (t, ч). а в условии промежуток времени задается от 0 до 30 мин.

Перевод единиц: 0 минут = 0 часов; 30 минут = 0,5 часа.

Решение: Измерим цену деления. Для этого находим разность между двумя подписанными значениями оси и делим на количество делений. Для оси t два соседних подписанных значения 1 и 2, между ними находится 4 деления, значит цена одного деления (одной клетки)

По оси v два соседних подписанных деления 32 и 64, между ними находится две клетки, значит цена деления

 При t = 0, v = 0; при t = 2•0,25=0,5, v= 32+16= 48.

На данном промежутке график функции выглядит как график линейной функции (прямой пропорциональности, так как проходит через начало координат), которая задается формулой y=kx. Нам известно, что точка (0,5; 48) принадлежит графику. Подставляем ее значение в формулу, задающую функцию, находим значение k:

Получаем задание функции v(t)=96t.
Ответ: 4

А11, линейная функция, свойство точки, принадлежащей графику функции

Задание. 

Теория. Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение, задающее функцию, получается верное числовое равенство. Подробнее

Любая точка на плоскости имеет две координаты: на первом месте принято записывать абсциссу (координата x), на втором - ординату (координата y).

Анализ. При подстановке координат точки A в заданное уравнение, получим линейное уравнение с одной неизвестной k. Решим его относительно этой неизвестной.

Решение. 

Ответ: 3