B6. Планиметрия.

Задание. Биссектриса угла ABC (ﮮABC=60°) пересекает сторону AD в точке H так, что AH:HD=2:1, BH=8. Найдите значение S², где S – площадь параллелограмма ABCD.

Решение

Треугольник ABH – равнобедренный (углы ABH и AHB равны углу HBC, а значит, равны между собой. ﮮABH=ﮮHBC т.к. BH – биссектриса по условию, ﮮAHB=ﮮHBC=30° как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей BH

Ответ. 768

B7. Планиметрия

Задание. Точка M лежит внутри угла A равного 60° и находится на расстоянии √7 и 4√7 от его сторон. Найдите длину отрезка AM.

Решение

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, значит, треугольники AMN и AKM – прямоугольные. Вокруг каждого из них можно описать окружность, центр которой лежит на середине AM и радиусом, равным половине AM, то есть, эти окружности совпадают, а значит, около четырехугольника ANMK можно описать окружность, значит, ےA+ےM=180°, откуда ےM=120°. 

Далее по теореме косинусов из треугольника MNK находим сторону NK:
NK²=MN²+MK²-2∙MK∙MK∙cos120°.
NK²=7+16∙7-2∙√7∙4√7∙(-1/2)=7+16∙7+4∙7=7∙21=49∙3
NK=7√3.

Так как та же самая окружность описана и вокруг треугольника ANK, то по теореме синусов NK/(sinA)=2R, находим R=NK/(2sinA)=7√3/(2∙√3/2)=7.

AM является диаметром окружности, значит, d=2R=14.

Ответ. 14

Найти радиус окружности описанной вокруг трапеции с основаниями 6 и 8 и высотой, равной 7

Для начала разберемся, когда около трапеции можно описать окружность. Вообще говоря, около четырехугольника можно описать окружность, когда сумма противоположных углов его равна 180°. Но у трапеции в силу того, что основания параллельны, а боковая сторона (AD) является секущей и сумма углов, прилежащих к боковой стороне также равна 180°. То есть получается, что ےA+ےD=180° и ےA+ےC=180°, а значит ےD= ےC и трапеция равнобедренная. Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность!

Теперь, зная основания и высоту равнобедренной трапеции найдем ее боковые стороны. Для этого опускаем две высоты DH и CH₁ и AH=H₁B=(8-6):2=1.

По теореме Пифагора из ∆ADH боковая сторона AD=5√2.

 И вот теперь самое интересное. У нас нет формулы для нахождения радиуса описанной вокруг четырехугольника окружности! Пытаться придумать, где должен быть центр окружности – смысла особого нет, так как это не приблизит нас к ответу. И тут мы кое-что интересное заметим по рисунку. Оказывается, что окружность, описанная вокруг трапеции ABCD и окружность, описанная вокруг треугольника ABD – одна и та же!!! А для треугольника уже есть и формула R=abc/(4S) и найдено практически все. Осталось найти площадь: S=1/2AB∙DH=28 и сторону DB по теореме Пифагора из ∆BDH: DB=7√2. Подставляем в формулу:

 Ответ 5.