A14. Теорема Виета

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями уравнения x²-9x+7=0. Найдите площадь круга, ограниченного описанной около этого треугольника окружностью.

Варианты ответов:

1)    95π/4;

2)    67π/4;

3)    67π/2;

4)    67π;

5)    √67π.

Теория теорема Виета и про выделение полного квадрата

S=πR², где R – радиус окружности, ограничивающей круг. Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.

Решение.

Таким образом, задача свелась к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами x₁ и x₂. Применяя теорему Виета, получаем x₁+x₂=9, x₁∙x₂=7. Далее по теореме Пифагора:

c²=x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=9²-2∙7=81-14=67, откуда c=√67, то есть R=√67/2

S=πR²=π∙(67/4)= 67π/4

Ответ. 2