А20. Стереометрия (развертка)

Задание. На рисунках 1 и 2 изображены прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с основанием ABCD и его развертка. Найдите длину ломаной B₁D₁KB, если ےC₁B₁D₁=60°, CD=9 и точки B₁, D₁, K и B лежат на одной прямой.

Варианты ответов:

1)    27;

2)    27√2;

3)    81√3/2;

4)    12√3+6;

5)    12√3+9.

Теория может пригодиться

Решение

Длину отрезка B₁D₁ найдем из прямоугольного треугольника B₁C₁D₁, у которого C₁D₁=CD=9, ےC₁B₁D₁=60° по условию, значит, sin( ےC₁B₁D₁)=C₁D₁/B₁D₁, откуда B₁D₁=C₁D₁/sin ےC₁B₁D₁=9/(√3/2)=18/√3=6√3, B₁C₁=3√3 как катет, лежащий против угла в 30°.

Далее, так как точки B₁, D₁, K и B лежат на одной прямой, то ےAKB=ےC₁B₁D₁=60° как соответственные при AA₁||CB₁ и секущей BB₁, а ےAKB=ےD₁KA₁ как вертикальные.

Длину D₁K найдем из прямоугольного треугольника D₁KA₁, у него D₁A₁= B₁C₁=3√3, ےD₁KA₁=60°, значит sin( ےA₁KD₁)=A₁D₁/KD₁, откуда KD₁=A₁D₁/sin 60°=(3√3)/(√3/2)=6.

Длину BK найдем из прямоугольного треугольника BKA, у него AB= CD=9, ےAKB=60°, значит sin( ےAKB)=AB/KB, откуда KB=AB/sin 60°=9/(√3/2)=6√3.

Длина ломаной B₁D₁KB=B₁D₁+D₁K+KB=6√3+6+6√3=12√3+6.

Ответ. 4