A18. Стереометрия

Задание. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является треугольник ABC, в котором ےA=75°, ےB=45°, а радиус описанной около него окружности равен 3√3. Найдите радиус окружности, описанной около грани AA₁B₁B, если площадь этой грани равна 108.

Варианты ответов

1)    7;

2)    15;

3)    7,5;

4)    6√2;

5)    9,5.

Теория

Прямая треугольная призма – это призма, в основании которой лежит треугольник, а боковые грани являются прямоугольниками. Сумма углов треугольника равна 180°. Теорема синусов: a/(sinA)=2R, центр описанной вокруг прямоугольника окружности лежит в точке пересечения его диагоналей, значит, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности, равен половине его диагонали. Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC у него ےC=180°-(75°+45°)=60°. По теореме синусов: AB/(sinےC)=2R; AB=2R∙ sinے60°=2∙3√3∙(√3/2)=9.

Рассмотрим прямоугольник AA₁B₁B, у него AB=9, S=108; S=AB∙BB₁, откуда BB₁=S/AB=108/9=12.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB₁. По теореме Пифагора AB₁²=AB²+BB₁²=81+144=225, откуда AB₁=15, то есть диагональ прямоугольника равна 15, тогда радиус описанной вокруг него окружности равен 15/2=7,5.

Ответ. 3