B7. Логарифмическое неравенство

Задание. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции:

Анализ. Если функция задана корнем, то для нахождения ее области определения нужно выставить условие: подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом получаем логарифмическое неравенство и решаем его.

Теория. Основные способы решения логарифмических неравенств
Решение.

Пересекая оба решения получаем x ϵ (1; 19 2/3).

Сумма всех целых решений:

2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=(2+19)∙9=21∙9=189

Ответ. 189

Логарифмические неравенства и способы их решения

Разберем основные способы решения логарифмических неравенств

Смысл решения логарифмических неравенств состоит в том, чтобы перейти путем равносильных переходов к рациональному неравенству или их системе

      1.   Слева и справа – логарифмы с одинаковым основанием.

Тогда в зависимости от основания логарифма мы опускаем логарифмы и если основание больше 1 – оставляем знак неравенства, если основание меньше 1 но больше 0 – меняем знак неравенства. Вторым неравенством записываем условие существования меньшего из выражений, стоящих под логарифмом (уже после того, как логарифмы опустим, смотрим на какое из выражений указывает «носик» неравенства, то выражение и должно быть больше 0)

2.     С одной стороны – логарифм, а с другой число.

Не советую заучивать какие-либо схемы, советую – рассуждать. Из числа делаем логарифм по тому же основанию, что и исходный логарифм в неравенстве и дальше поступаем как в пункте 1, однако выставлять ли условие существования логарифма зависит от того, какое из выражений в неравенстве окажется наименьшим. Если наименьшее – число, то ставить условие его существования уже не нужно. (то есть, если вы «снимаете» логарифмы, не забудьте посмотреть на основание логарифма, нужно ли разворачивать знак неравенства и после этого оказывается, что «носик» неравенства смотрит на число, то записывать, что это число больше нуля – уже не нужно).

3.     С применением свойств логарифма.

Если применяем какое-либо свойство логарифма, то обязательно выставляем условие существования этого (этих) логарифма. Далее действуем как в пунктах 1 или 2, но при переходе от логарифмического уравнения к системе рациональных условие существования меньшего логарифма уже выставлять не нужно, так как он и так существует, ведь мы уже ранее выставили это условие

 4.     Метод интервалов.

Если из условия понятно, что при переносе в левую часть всех элементов неравенства, она легко разложится на множители (либо уже разложена на множители или представляет собой дробь), целесообразно применить метод интервалов

 5.     Замена

С заменой в неравенствах советую быть особо аккуратными и вводить ее только для того, чтобы разложить на множители, а дальше выполнить обратную замену и решать методом интервалов (как в пункте 4)

 6.     Графический

Иногда бывает, что все попытки решить неравенство аналитическими способами не дают должного результата, однако функции, представленные в неравенстве не являются тяжелыми для построения. Тогда есть смысл попробовать их изобразить и по рисунку понять, какая из функций на каком промежутке больше. (не забудем про ОДЗ). Теория по движению графиков

Должны получится следующие графики:

Асимптота x=1/3

Так как одна функция является возрастающей, а другая – убывающей, то никаких других точек пересечения у них нет. Логарифмическая функция ниже (меньше, о чем спрашивали в неравенстве) чем линейная при
 x є (-1; 1/3) – не забудьте ОДЗ!

Точка пересечения – (-1; 2) – проверьте путем подстановки в обе функции. Они обе через нее проходят.

Ознакомьтесь с решениями тестовых заданий, предложенных на репетиционном тестировании:

B6, РТ-2018 (2 этап)

B7, РТ-2018 (3 этап)

В7, РТ-2019 (3 этап)

В7, логарифмическое неравенство

Задание. Найдите произведение наименьшего и наибольшего решений неравенства

 Теория Здесь
Анализ. Будем внимательны, так как основание логарифма - число, меньше 1, что говорит нам о том, что нужно будет менять знак неравенства, когда приведем логарифмы к одинаковому основанию. 

Решение. Приведем логарифмы к одинаковому основанию

Так как основание логарифма - число 1/3, а оно меньше 1, то необходимо развернуть знак неравенства. После этого "носик" неравенства смотрит на выражение, содержащее переменную, значит необходимо выставить условие существования этого логарифма (число под логарифмом неотрицательное). Переходим к системе неравенств:

 Решим сначала первое неравенство. Оно дробно-рациональное. Решаем его методом интервалов, но сначала перенесем все в одну часть и приведем к общему знаменателю:

Три условия, необходимые для решения функции методом интервалов, соблюдены, рассмотрим функцию.

Область определения x≠-14, нули функции: x=-6. Наносим на числовую прямую (ноль функции закрашен, так как неравенство нестрогое) и находим знак функции в каждом интервале:

 Решим второе неравенство. Оно так же дробно-рациональное. Можно сразу переходить к методу интервалов, так как три условия соблюдены. Рассмотрим функцию

 Область определения x≠-14, нули функции: x=2. Наносим на числовую прямую (ноль функции не закрашен, так как неравенство строгое) и находим знак функции в каждом интервале:

 Находим общее решение для двух неравенств:

 Получаем наложение промежутков:

В задании просили найти произведение наименьшего и наибольшего решений неравенства. Наименьшее целое: -6, наибольшее целое: 1 (так как граница, число 2, не входит, а ближайшее целое, меньшее чем 2 - число 1)

Их произведение -6•1=-6

Ответ: -6

B6, логарифмическое неравенство

Задание 

Теория Здесь

Анализ. Обычное логарифмическое неравенство. Необходимо заметить, что основание логарифма меньше единицы, поэтому не забываем менять знак неравенства, так же после перехода к рациональному неравенству меньшее из двух выражений (то, на которое указывает "носик") - положительно (условие существование логарифма). И будем внимательны при выборе ответа на вопрос задания.

Решение.

Наименьшее целое отрицательное - число -11 (так как -12 не входит в промежуток), наибольшее целое положительное - число 2. Их произведение -11 • 2 = -22

Ответ. -22