A9. Расстояние между точками

Задание. Точка M лежит на оси ординат и равноудалена от точек A(5; 2) и B(-3; 3). Найдите координаты точки M.

Варианты ответов

Решение

Пусть точка M имеет координаты (0; b). Т.к. по условию она принадлежит оси ординат, то ее первая координата будет равна 0. Далее покажем, как составляются расстояния до точек

A и B. 

Расстояние до точки B будет равно гипотенузе треугольника MBB1 – это прямоугольный треугольник с катетами MB=|-3|=3 (расстояние по оси Ox между точками B и M и катет BB1=|3-b| - расстояние по оси Oy между точками M и B. Аналогично расстояние MA находим из прямоугольного треугольника AMA1, где A1M=|5|=5, AA1=|2-b|.

Эти два расстояния по условию равны, т.е.

Значит, точка M имеет координаты (0; -5 ½)

Ответ. 2

A11. Координатная плоскость

Задание. Расстояние между точками A(-3; 43) и B(a; 43) координатной плоскости равно 24. Найдите сумму координат точки B, если a<0.
Варианты ответов.

1. 27;
2. 16;
3. 21;
4. 43;
5. 64.

Анализ. Внимательно: в ответ просят указать сумму координат точки!

Решение. Замечаем, что координаты y у точек A и B равны, это означает, что обе точки лежат на прямой y=43, то есть на прямой, параллельной ось абсцисс (Ox). Поэтому вместо рассмотрения координатной плоскости, можем рассмотреть координатную прямую y=43.

По условию расстояние между точками A(-3; 43) и B(a; 43) равно 24. Существует две точки, лежащие на прямой y=43, расстояние от которых до точки A равно 24:

Это точки (-3+24; 43) и (-3-24; 43) то есть (21; 43) и (-27; 43) но по условию абсцисса искомой точки должна быть меньше нуля, значит, B(-27; 43). Сумма координат точки равна -27+43=16.

Ответ. 2