B9. Тела вращения

Задание. Длины двух сторон треугольника равны 4 и 6, а угол между ними равен α, cos α =-3/4. Найдите объем тела, полученного в результате вращения треугольника вокруг стороны, равной 6. Считайте число π равным числу Архимеда 22/7.

Анализ. Сразу обращаем внимание на то, что треугольник тупоугольный, так как косинус его угла отрицательный

Теория. Объем конуса находим по формуле V=1/3∙πR²∙H, где R – радиус основания, H – высота конуса.

Решение.

Пусть AB=6, AC=4, cos A = -3/4.

При вращении тела вокруг стороны AB эта сторона остается фиксированной (является осью), а все остальные точки описывают окружности радиуса равного расстоянию между этой точкой и стороной AB.

Для нахождения объема полученного тела вращения можно найти объем конуса с осью BO (см рисунок) и образующей BC и из этого объема вычесть объем конуса с осью AO и образующей AC.

Углы OAC и CAB – смежные, их сумма равна 180°, а значит, по формулам приведения, cos ے OAC=-cos ے CAB. cos ے OAC=3/4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC. По условию AC (гипотенуза)=4. По найденному cos ے OAC=3/4. Из соотношений в прямоугольном треугольнике cos ے OAC=OA/AC, значит OA=3, по теореме Пифагора OC=√7.

OB=BA+AO=6+3=9.

Для конуса с осью BO=9: V=1/3∙22/7∙(√7)²∙9=66.

Для конуса с осью AO=3: V=1/3∙22/7∙(√7)²∙3=22.

Объем полученного тела вращения V=66-22=44.

Ответ. 44