A17. Тригонометрическое уравнение

Задание. Найдите (в градусах) сумму корней уравнения 
cos² x-2,5cos x–1,5=0 на промежутке [135°; 675°].
Варианты ответов.

1)    810;

2)    1210;

3)    1320;

4)    2700;

5)    1380.

Анализ. Очень простое тригонометрическое уравнение, в котором сразу напрашивается замена. Более продвинутые ученики могут ее не вводить, а сразу решать квадратное уравнение относительно cos x.

Решение. Вводим замену пусть cos x=t, тогда t²-2,5t–1,5=0.

D=(-2,5)²-4∙(-1,5)=6,25+6=12,25=3,5²,

t₁=-1/2; t₂=3

Обратная замена: cos x=3 (нет решений),

cos x=1/2↔x=±arccos(-1/2)+2πn, nϵⱫ

x=±120°+360°∙n, nϵⱫ

Подставляя различные целые значения n определим корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку.

При n=0, x=±120° (оба корня не принадлежат)

При n=1, x=±120°+360°∙1=240° или 480° (оба корня принадлежат)

При n=2, x=±120°+360°∙2=600° или 840° (первый корень принадлежит)

При n=3, проверять нет смысла, так как получатся корни, большие, чем 840°.

Сумма

240°+480°+600°=1320°.

Ответ. 3