Найти радиус окружности описанной вокруг трапеции с основаниями 6 и 8 и высотой, равной 7

Для начала разберемся, когда около трапеции можно описать окружность. Вообще говоря, около четырехугольника можно описать окружность, когда сумма противоположных углов его равна 180°. Но у трапеции в силу того, что основания параллельны, а боковая сторона (AD) является секущей и сумма углов, прилежащих к боковой стороне также равна 180°. То есть получается, что ےA+ےD=180° и ےA+ےC=180°, а значит ےD= ےC и трапеция равнобедренная. Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность!

Теперь, зная основания и высоту равнобедренной трапеции найдем ее боковые стороны. Для этого опускаем две высоты DH и CH₁ и AH=H₁B=(8-6):2=1.

По теореме Пифагора из ∆ADH боковая сторона AD=5√2.

 И вот теперь самое интересное. У нас нет формулы для нахождения радиуса описанной вокруг четырехугольника окружности! Пытаться придумать, где должен быть центр окружности – смысла особого нет, так как это не приблизит нас к ответу. И тут мы кое-что интересное заметим по рисунку. Оказывается, что окружность, описанная вокруг трапеции ABCD и окружность, описанная вокруг треугольника ABD – одна и та же!!! А для треугольника уже есть и формула R=abc/(4S) и найдено практически все. Осталось найти площадь: S=1/2AB∙DH=28 и сторону DB по теореме Пифагора из ∆BDH: DB=7√2. Подставляем в формулу:

 Ответ 5.