Анализ. Обычное логарифмическое неравенство. Необходимо заметить, что основание логарифма меньше единицы, поэтому не забываем менять знак неравенства, так же после перехода к рациональному неравенству меньшее из двух выражений (то, на которое указывает "носик") - положительно (условие существование логарифма). И будем внимательны при выборе ответа на вопрос задания.
Решение.
Наименьшее целое отрицательное - число -11 (так как -12 не входит в промежуток), наибольшее целое положительное - число 2. Их произведение -11 • 2 = -22
Решение. Находим цену деления (длину каждого из отрезков AB, BC, CD, DE, EF, FG). Для этого находим разность между двумя подписанными точками и делим ее на количество отрезков, на которые разбивается исходный отрезок.
26-8=18;
18 : 6 = 3 - длина одного отрезка, т.е.
Точка B соответствует числу 11; точка C - числу 14; точка D - числу 17.
Очевидно, ближе других точка C (даже объяснять не буду, почему) Ответ. 2
Задание. Составьте выражение, которое определяет, на сколько копеек величина 3 руб. 5 коп. меньше величины a рублей.
Варианты ответа
100a-305;
a-305;
10a-0,35;
100a-30,5;
10a-35.
Анализ. Частая задача на ЦТ после деноминации :) необходимо правильно переводить рубли в копейки и обратно. Смотрим на вопрос в задачи - так как спрашивается на сколько копеек, переводить все величины будем в копейки.
Теория. 1 руб = 100 коп. 1 коп = 1/100 руб.
Для того, чтобы определить, на сколько одна величина больше (меньше) другой, необходимо составить разность этих величин. Либо уменьшаемым записать большую величину, либо порядок записи величин не важен, но тогда не забудем поставить модуль на составленное выражение (совет: использовать первый способ).
Решение. Переводим все величины в копейки: 3 руб. 5 коп = 3 • 100 коп. + 5 коп. = 305 коп (а не 35, как некоторые могут ошибочно записать);
a руб = a • 100 коп= 100a коп;
Выражение, определяющее на сколько копеек величина 3 руб. 5 коп. меньше величины a рублей: 100a-305.
Анализ. Перед нами простейшее иррациональное уравнения типа (III). Для его решения понадобится возводить праву часть в квадрат, однако в правой части стоит нетипичный для задач двучлен. Его можно возвести по формуле квадрата суммы:
Таблица весьма примитивная, однако ее хватает для решения большинства уравнений из ЦТ и сборника экзаменационных материалов. Пользуемся ей при решении иррациональных уравнений (уравнений, в которых переменная встречается под знаком радикала (корня) второй степени или аналогично четных степеней).
Анализ Будем внимательны, так как перед нами нестрогое неравенство, это означает, что при записи промежутка, являющегося решением, не забудем включить в него нули функции. Так же в знаменателе дроби записан квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом - не забудем учесть это в разложении на линейные множители знаменателя. В задании говорится о целых решениях, подробнее о числовых множествах здесь.
Решение. Перед нами дробно-рациональное неравенство, так как переменная содержится в знаменателе. Прежде, чем решать его методом интервалов, необходимо проверить три условия:
Справа действительно стоит ноль
Слева действительно одна дробь
Однако ни числитель, ни знаменатель этой дроби не разложены на линейные множители.
Разложим числитель.
Для начала вынесем за скобку общий множитель, а затем выражение, оставшееся в скобке,
разложим по формуле
В знаменателе дроби записан квадратный трехчлен, который разложим по этой же формуле. Не забудем, что в данном случае a = -1.
Теперь можно приступать к методу интервалов:
Рассмотрим функцию
Внимание! Сокращать данную дробь нельзя, иначе мы расширим область определения функции!
Область определения данной функции - все действительные числ за исключением чисел 6 и 8.
Нули функции - 0 и 4.
Наносим на числовую прямую область определения и нули функции и находим знак функции в каждом интервале.
Получаем, что функция неотрицательна на промежутке:
Наибольшее целое решение неравенства 7, а целые решения 0; 4; 5; 7 - то есть количество целых решений 4.
Анализ. Будем внимательны при выборе ответа, так как в задании встречаются понятия целое решение (подробнее о числовых множествах), а так же будем аккуратно выбирать наибольшее отрицательное и наименьшее положительное, помня при этом, что неравенство строгое и граничные точки интервалов в решение входить не будут.
Решение.Для решения неравенства необходимо определить его лип. Так как в знаменателе переменных нет, а старшая степень переменной - вторая, то это, скорее всего, квадратное неравенство. Однако в этом необходимо убедиться. Перенесем все слагаемые в одну часть:
Приведем к общему знаменателю 12:
Умножим обе части неравенства на 12, для того, чтобы избавиться от знаменателя. Так как умножаем на положительное число, знак неравенства менять не нужно:
Раскроем скобки
Приведем подобные слагаемые:
Рассмотрим функцию
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, нули функции:
Изобразим схематично график функции
Функция отрицательная на промежутке
Теперь внимательно выбираем ответы на задание. Наибольшее отрицательное целое решение это число -3 (так как -2 не входит в промежуток из-за того, что неравенство строгое, а число -1 вообще находится правее числа -2). Наименьшее целое положительное решение - число 2. Произведение этих чисел
Для начала вспомним равносильные переходы при решении неравенств (то, что можно делать с любым неравенством).
1. Переносить слагаемое из одной части в другую, меняя знак этого слагаемого;
2. Умножать или делить обе части неравенства на одно и то же, отличное от нуля, число. Причем, если это число отрицательное, необходимо "развернуть" знак неравенства.
Теперь для дальнейшего решения необходимо определить вид неравенства:
Для решения линейных неравенств слагаемые, в которых есть множитель x переносят в левую часть, слагаемые без x - в правую. Приводят подобные слагаемые в каждой из частей неравенства и делят обе части на коэффициент (множитель перед x), используя правило (2) о равносильных переходах в неравенствах. Полученное решение наносят на числовую прямую и ответ записывают в виде промежутка.
Для решения квадратных неравенств вводят в рассмотрение соответствующую квадратичную функцию и изображают ее схематично. Нас интересует направление ветвей и количество нулей функции. В зависимости от этих критериев получают один из графиков
Далее записывают ответ промежутком в зависимости от условия неравенства.
Метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств применяют только после того, как соблюли все условия в дробно-рациональном неравенстве:
Справа - ноль;
Слева - одна дробь;
И числитель, и знаменатель этой дроби разложены на линейные множители.
Далее вводят в рассмотрение функцию, находят ее область определения и нули, отмечают их на числовой прямой и находят знак функции в каждом промежутке. Особое внимание уделяют нестрогому неравенству. Тогда при ответе не забывают объединять промежутке с нулями функции. Ответ записывают промежутком исходя из знака неравенства в условии.
Одночленами не является: 1/a (отрицательная степень), 𝑎+𝑏 (сумма переменных); −3√𝑥 (степень переменной не натуральная).
Стандартный вид одночлена – одночлен, в записи которого на первом месте стоит числовой множитель, а произведение одинаковых степеней переменных записано в виде одной степени.
Например, −3𝑎𝑏𝑐 – одночлен, записанный в стандартном виде, −14𝑎𝑏∙(𝑏^2)𝑐 – одночлен, запись которого не является стандартным видом. Для того, чтобы привести данный одночлен к стандартному виду, необходимо записать степени переменной 𝑏 в виде степени с одним основанием, т.е. −14𝑎(𝑏^3)𝑐 – уже стандартный вид этого одночлена.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.Степенью одночлена называется сумма степеней входящих в него переменных.
Для одночлена −14𝑎(𝑏^3)𝑐 коэффициент равен −14., а степень равна 1+3+1=5. Для одночлена −3𝑎𝑏𝑐 коэффициент равен −3, а степень равна 1+1+1=3. Для одночлена 5 коэффициент равен 5, а степень равна 0. Для одночлена 0 коэффициент равен 0, а степень не определена.
Многочлен – это сумма двух и более одночленов. Стандартный вид многочлена – это многочлен, каждый член которого является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых (слагаемых с одинаковой буквенной частью). Понятия коэффициента многочлена не существует, а степенью многочлена, записанного в стандартном виде, называется наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.
Важная тема для изучения - разложение многочленов на множители:
Задание. Среди данных утверждений укажите номер НЕверного:
1) Число √2 - иррациональное;
2) Числа 9 и 1/9 являются взаимно обратными;
3) Число 1245 делится на 3;
4) Число 2 кратно числу 14;
5) Число 2 является простым. Теория.Обязательно к прочтению Решение. Это чисто теоретическое задание, для которого необходимо изучить соответствующую теорию.
1) да, так как данное число нельзя представить в виде несократимой дроби вида p/q.
2) да, так как произведение этих чисел равно 1.
3) да, так как сумма цифр числа 1245 (1+2+4+5=12) делится на 3 без остатка.
4) нет, так как число 2 не делится на 14 без остатка.
5) да, так как это число имеет только два натуральных делителя: 1 и 2. Ответ. 4
Противоположные числа в сумме дают 0. Например, 2 и −2; −13 и 13. Произведение обратных чисел равно 1. Например, 10 и 1/10; −2/3 и −3/2.
Натуральные числа (ℕ) – это числа, которые используются при счете: 1;2;3;…
Натуральные числа, им противоположные и число 0 образуют множество целых чисел (ℤ): …; −2; −1; 0; 1; 2...
Рациональные числа (ℚ) – это числа, представимые в виде дроби 𝑝/𝑞, где 𝑝− целое число, 𝑞−натуральное число. Например, 1; −5; 0; −74; 514; 2,5, 13/8, 1,(3)…
Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными (𝕀): √5; −√19; π, e…
Иррациональные и рациональные числа вместе образуют множество действительных чисел (ℝ).
На множестве натуральны чисел существует понятие делимости
Делителем числа 𝑎 называется такое число, которое делится на 𝑎 без остатка. Число, для которого число 𝑏 является делителем, называется кратным числу 𝑏.
Натуральное число, имеющее только 2 делителя (единицу и само это число) называется простым. Например, 7 делится без остатка только на 1 и 7. Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Например, 6 делится без остатка на 1, 2, 3 и 6. Значит, оно является составным. Число 1 не является ни простым, ни составным, т.к. имеет только 1 делитель – 1.
Простые числа первой двадцатки: 2;3;5;7;11;13;17;19.
Признаки делимости:
На 2 делятся четные числа (которые оканчиваются на 0;2;4;6;8)
На 3 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например, 672⋮3 (6+7+2=15⋮3).
На 5 делятся числа, которые оканчиваются на 0 и 5.
НОК и НОД чисел
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел 𝑎 и 𝑏 – это наибольшее из всех натуральных чисел, на которое делятся и 𝑎 и 𝑏 без остатка.
Если НОД некоторых чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел 𝑎 и 𝑏 – это такое наименьшее из натуральное чисел, которое делится на 𝑎 и 𝑏 без остатка.
НОК двух взаимно простых чисел равен их произведению.
Для нахождения НОД числа раскладываются на простые множители, а затем выписывается общее из разложений.
Для нахождения НОК числа раскладываются на простые множители, затем выписывается одно (любое) разложение полностью и дописывается, чего не хватает из остальных разложений.
НОК и НОД двух чисел обладают следующим свойством: НОК (a, b) • НОД(a, b) = a • b
Анализ: Так как оси y соответствует v (скорость), то она является в данном случае функцией, зависящей от t (так как t соответствует оси x, независимой переменной). Учтем, что ось времени измеряется в часах (t, ч). а в условии промежуток времени задается от 0 до 30 мин.
Перевод единиц: 0 минут = 0 часов; 30 минут = 0,5 часа.
Решение: Измерим цену деления. Для этого находим разность между двумя подписанными значениями оси и делим на количество делений. Для оси t два соседних подписанных значения 1 и 2, между ними находится 4 деления, значит цена одного деления (одной клетки)
По оси v два соседних подписанных деления 32 и 64, между ними находится две клетки, значит цена деления
При t = 0, v = 0; при t = 2•0,25=0,5, v= 32+16= 48.
На данном промежутке график функции выглядит как график линейной функции (прямой пропорциональности, так как проходит через начало координат), которая задается формулой y=kx. Нам известно, что точка (0,5; 48) принадлежит графику. Подставляем ее значение в формулу, задающую функцию, находим значение k:
Теория. Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение, задающее функцию, получается верное числовое равенство. Подробнее
Любая точка на плоскости имеет две координаты: на первом месте принято записывать абсциссу (координата x), на втором - ординату (координата y).
Анализ. При подстановке координат точки A в заданное уравнение, получим линейное уравнение с одной неизвестной k. Решим его относительно этой неизвестной.
Анализ. Будем внимательны, так как в задании необходимо выбрать функции, которые одновременно убывают на промежутке [-3; 3] и принимают на этом промежутке положительные значения. Одна из функций принимает неотрицательные значения (4), так как нули данной функции входят в заданный промежуток.
Теория. При выполнении задания будет полезно ознакомиться с теорией по данной теме.
Решение. Про график функции 4 уже сказано выше, функция 5 возрастает на промежутке [-3; 0]. Функция 2 принимает отрицательные значения, так как ее график располагается ниже ось абсцисс на промежутке (-1,5; 3]. Остаются функции 1 и 3, которые действительно убывают на заданном промежутке и принимают на нем положительные значения.
Функцией y=f(x)называется зависимость (закон), при которой
каждому значению xсоответствует единственное значение y.
Областью
определения функции называется множество чисел, на которых
задается функция (или это те числа, которые можно подставить в уравнение,
задающее функцию, вместо x). Графически область
определения смотрится по x. Переменная xназывается независимой или аргументом.
Область
(множество) значений функции – это множество,
состоящее из всех значений, которые принимает функция (или это то множество,
которое получается, если подставить в функцию вместо xвсе возможные значения аргумента). Графически
область значений смотрится по y. Переменная yназывается зависимой или функцией.
Ноль
функции – это такое значение x, при котором значение
функции равно 0. Для того, чтобы найти ноль функции нужно вместо y в задании функции
подставить ноль и решить полученное уравнение 0 = f(x).
Для нахождения точек пересечения с осями
координат, нужно:
С осью Ox: вместо yв задании функции подставить ноль и решить
полученное уравнение 0 = f(x). Получатся точки, абсцисса (x) которых будет равна
корню полученного уравнения, а ордината
(y) равна 0. Таких точек
может быть несколько в зависимости от количества корней уравнения 0 = f(x).
С осью Oy: вместо xв задании функции подставить ноль и вычислить
соответствующее значение y: y = f(0). Получится точка,
абсцисса (x) которых будет равна
нулю, а ордината (y) равна полученному
значению. Если у функции существует точка пересечения с осью Oy, то она единственна!
Если функция непрерывна между двумя нулями функции (нет
точек, которые не входят в область определения), то она знакопостоянна: или
положительна, или отрицательна. Для того, чтобы определить промежутки, на
которых функция положительна, составляют неравенство f(x)>0и решают его. Для того, чтобы
определить промежутки, на которых функция отрицательна, составляют неравенство f(x)<0и решают его.
Функция называется возрастающей, на некотором промежутке, если для любых x1и x2из этого промежутка таких, что x1>x2верно f(x1)>f(x2).
Функция называется убывающей, на некотором промежутке, если для любых x1и x2из этого промежутка таких, что x1>x2верно f(x1)<f(x2).
Промежутки монотонности (возрастания и
убывания) определяются с помощью производной функции. Для того, чтобы
определить, на каком промежутке функция возрастает, составляют неравенство f ' (x)>0 и решают его. Для того, чтобы определить, на каком
промежутке функция убывает, составляют неравенство f ' (x)<0 и решают его. Точки, в которых f ' (x0)=0 называются подозрительными на экстремум. Если при переходе через точку x0 производная функции меняет свой знак c"+" на "-", то точка называется точкой максимума. Для того, чтобы найти максимум функции, нужно подставить эту точку в формулу и найти f(x0).Если при переходе через точку x0 производная функции меняет свой знак c"-" на "+", то точка называется точкой минимума. Для того, чтобы найти минимум функции, нужно подставить эту точку в формулу и найти f(x0).. Максимумов и
минимумов у функции может быть несколько!
Внимание! Если известно, что точка принадлежит графику функции, то при подстановке координат этой функции в уравнение, задающее функцию, она обратит данное уравнение в верное равенство. Таким образом, для того, чтобы проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику некоторой функции, ее координаты подставляют в уравнение, задающее функцию и, если эта подстановка обращает уравнение в верное числовое равенство, то точка принадлежит графику; в противном случае - не принадлежит.
Наибольший из максимумов функции (если
функция определена на всем множестве) называется наибольшим значением функции. Наименьший из минимумов функции (если
функция определена на всем множестве) называется наименьшим значением функции. Наибольшее и наименьшее значение у
функции всегда единственно!
А теперь посмотрим, как определить все
эти свойства по графику функции.
На рисунке схематично изображен график некоторой функции y=f(x)
Для указания свойств графика параболы необходимо представлять как она выглядит.
Промежутки знакопостоянства зависят от корней соответственного квадратного трехчлена. Рассмотрим все случаи:
Получаем следующие промежутки знакопостоянства.
Для отыскания промежутков монотонности (возрастания и убывания) и наибольшего и наименьшего значения, снова смотрим на график. Не забываем, что промежутки монотонности указываются по х, а наибольшее и наименьшее значения - по у.
