Репетитор по математике (Полоцк, Новополоцк): Функции (основные понятия)

Функции

Функцией y=f(x) называется зависимость (закон), при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.

Областью определения функции называется множество чисел, на которых задается функция (или это те числа, которые можно подставить в уравнение, задающее функцию, вместо x). Графически область определения смотрится по x. Переменная x называется независимой или аргументом.

Область (множество) значений функции – это множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция (или это то множество, которое получается, если подставить в функцию вместо x все возможные значения аргумента). Графически область значений смотрится по y. Переменная y называется зависимой или функцией.

Ноль функции – это такое значение x, при котором значение функции равно 0. Для того, чтобы найти ноль функции нужно вместо y в задании функции подставить ноль и решить полученное уравнение 0 = f(x).

Для нахождения точек пересечения с осями координат, нужно:

С осью Ox: вместо y в задании функции подставить ноль и решить полученное уравнение 0 = f(x). Получатся точки, абсцисса (x) которых будет равна корню полученного уравнения, а ордината (y) равна 0. Таких точек может быть несколько в зависимости от количества корней уравнения 0 = f(x).

С осью Oy: вместо x в задании функции подставить ноль и вычислить соответствующее значение y: y = f(0). Получится точка, абсцисса (x) которых будет равна нулю, а ордината (y) равна полученному значению. Если у функции существует точка пересечения с осью Oy, то она единственна!

Если функция непрерывна между двумя нулями функции (нет точек, которые не входят в область определения), то она знакопостоянна: или положительна, или отрицательна. Для того, чтобы определить промежутки, на которых функция положительна, составляют неравенство f(x)>0 и решают его. Для того, чтобы определить промежутки, на которых функция отрицательна, составляют неравенство f(x)<0 и решают его.

Функция называется возрастающей, на некотором промежутке, если для любых x1 и x2 из этого промежутка таких, что x1>x2 верно f(x1)>f(x2).

Функция называется убывающей, на некотором промежутке, если для любых x1 и x2 из этого промежутка таких, что x1>x2 верно f(x1)<f(x2).
Промежутки монотонности (возрастания и убывания) определяются с помощью производной функции. Для того, чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает, составляют неравенство f ' (x)>0 и решают его. Для того, чтобы определить, на каком промежутке функция убывает, составляют неравенство f ' (x)<0 и решают его. Точки, в которых f ' (x0)=0 называются подозрительными на экстремум. Если при переходе через точку x0 производная функции меняет свой знак c "+" на "-", то точка называется точкой максимума. Для того, чтобы найти максимум функции, нужно подставить эту точку в формулу и найти f(x0).Если при переходе через точку x0 производная функции меняет свой знак c "-" на "+", то точка называется точкой минимума. Для того, чтобы найти минимум функции, нужно подставить эту точку в формулу и найти f(x0).. Максимумов и минимумов у функции может быть несколько!

Внимание! Если известно, что точка принадлежит графику функции, то при подстановке координат этой функции в уравнение, задающее функцию, она обратит данное уравнение в верное равенство. Таким образом, для того, чтобы проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику некоторой функции, ее координаты подставляют в уравнение, задающее функцию и, если эта подстановка обращает уравнение в верное числовое равенство, то точка принадлежит графику; в противном случае - не принадлежит.

Наибольший из максимумов функции (если функция определена на всем множестве) называется наибольшим значением функции. Наименьший из минимумов функции (если функция определена на всем множестве) называется наименьшим значением функции. Наибольшее и наименьшее значение у функции всегда единственно!

А теперь посмотрим, как определить все эти свойства по графику функции.

На рисунке схематично изображен график некоторой функции y=f(x)