B10, дробно-рациональное неравенство

Задание. Найдите произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства

Теория по теме "рациональные неравенства" здесь .

Анализ Будем внимательны, так как перед нами нестрогое неравенство, это означает, что при записи промежутка, являющегося решением, не забудем включить в него нули функции. Так же в знаменателе дроби записан квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом - не забудем учесть это в разложении на линейные множители знаменателя. В задании говорится о целых решениях, подробнее о числовых множествах здесь.

Решение. Перед нами дробно-рациональное неравенство, так как переменная содержится в знаменателе. Прежде, чем решать его методом интервалов, необходимо проверить три условия:

1. Справа действительно стоит ноль
2. Слева действительно одна дробь
3. Однако ни числитель, ни знаменатель этой дроби не разложены на линейные множители. 

Разложим числитель. 

Для начала вынесем за скобку общий множитель, а затем выражение, оставшееся в скобке,

  разложим по формуле

В знаменателе дроби записан квадратный трехчлен, который разложим по этой же формуле. Не забудем, что в данном случае a = -1.

 Теперь можно приступать к методу интервалов:
Рассмотрим функцию

Внимание! Сокращать данную дробь нельзя, иначе мы расширим область определения функции!

 Область определения данной функции - все действительные числ за исключением чисел 6 и 8.

Нули функции - 0 и 4.

Наносим на числовую прямую область определения и нули функции и находим знак функции в каждом интервале.

 Получаем, что функция неотрицательна на промежутке:

Наибольшее целое решение неравенства 7, а целые решения 0; 4; 5; 7 - то есть количество целых решений 4.

Искомое произведение 7 • 4 = 28

Ответ. 28