В9, дробно-рациональное неравенство

Задание. Найдите произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства.

Теория здесь

Анализ. Будем внимательны, так как неравенство нестрогое и не забудем в ответ указать не только промежутки, на которых функция положительна, но и нули функции.

Решение. Прежде, чем решать неравенство, нужно определить его тип. Данное неравенство - дробно-рациональное (так как максимальная степени у переменной - четвертая). Решать такое неравенство следует методом интервалов, но прежде проверить три условия:

1. В правой части неравенства - ноль (соблюдено)

2. В левой части одна дробь (не характерно для нашего неравенства, так как дроби нет.

3. Левая часть разложена на линейные множители. (А вот это условие не соблюдено, так как у нас есть множитель второй степени - последняя скобка. Прежде нужно разложить ее на линейные множители)

 Переходим к методу интервалов.
Рассмотрим функцию

 Область определения - все числа, нули функции - числа 3√5; 8 и -8. Первая скобка не содержит переменной, а это означает, что при любом значении переменной она принимает всегда один и тот же знак. Так как √5-3 - отрицательное (потому что 3=√9, а √5-√9<0), то первая скобка отрицательная при любом значении переменной.

Отметим на числовой прямой нули функции (тут тоже можно допустить ошибку, не упорядочив нули функции. Число 3√5 находится правее числа 8, так как 3√5=√9•√5=√45, а 8=√64). Найдем знак функции на каждом из полученных интервалов.

 Получаем ответ неравенства

В задании необходимо указать  произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства. Для этого определим, между какими целыми числами находится иррациональное число 3√5. Как уже отмечалось, 3√5=√45, а √36<√45<√49, то есть 6<√45<7. Выпишем все целые решения неравенства: -8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8. Тогда количество целых решений: 16, а наибольшее целое решение: 8.

Их произведение 16•8=128.
Ответ. 128