A10. Площадь в системе координат

Задание. На координатной плоскости изображен параллелограмм ABCD с вершинами в узлах сетки. Найдите площадь параллелограмма ABCD. 

Варианты ответов:

1)    36;

2)    18;

3)    72;

4)    48;

5)    96.

Анализ. Обращаем внимание, что одна клетка равна 2 единичным отрезкам!

Решение.

Для нахождения площади параллелограмма ABCD можно найти площадь треугольника BDC и умножить полученное значение на 2, так как площади треугольников BDC и ABD равны. (Если сомневаетесь в этом, находите отдельно площади треугольников BDC и ABD). 

Для нахождения площади треугольника BDC опустим высоту C из вершины C на сторону BD. Так как треугольник тупоугольный, то высота, опущенная из вершины острого угла лежит вне треугольника и проецируется на продолжение стороны BD.

S=1/2 BD∙CH=1/2∙(6∙2)∙(3∙2)=1/2∙12∙6=72

Ответ. 3

A9. Задача, связанная с течением

Задание. От пристани одновременно по течению реки отправляются плот (I) и катер (II). На рисунке приведены графики их движения. Определите собственную скорость катера (в км/ч).

Варианты ответов:

1)    34,4;

2)    29,6;

3)    32;

4)    33,2;

5)    30,8.

Анализ.

Сразу же проверяем единицы измерения! В задаче просят определить скорость в км/ч, на рисунке также время представлено в ч, а расстояние – в км.

Теория

Формула нахождения скорости: v=S:t, плот плывет со скоростью течения, скорость по течению равна собственной скорости катера плюс скорость течения.

Решение.

Цена деления: по оси t 1 клетка = 1/12 часа; по оси S 1 клетка = ½ км

Определяем скорость плота, которая равна скорости течения: плот проплывает 1 км за 10/12 часа. Значит, скорость течения v=S:t=1/(10/12)=12/10=1,2.

Определяем скорость катера по течению: катер проплывает 8 км за 3/12 часа. Значит, его скорость v=S:t=8/(3/12)=32 км/ч.

Собственная скорость катера 32-1,2=30,8.

Ответ. 5

A8. Текстовая задача (на делимость)

Задание. На склад привезли два вида коробок для хранения овощей, причем количество одного вида в 6 раз больше, чем другого. Среди чисел 117, 133, 69, 87, 103 выберите то, которое может выражать количество коробок, привезенных на склад.

Варианты ответов:

1)    117;

2)    133;

3)    69;

4)    87;

5)    103.

Решение

Пусть x – количество коробок второго вида, тогда коробок первого вида в 6 раз больше, значит, 6x. Всего привезли коробок 6x+x=7x, а значит число, выражающее общее количество коробок, должно быть кратно 7 (делится на 7 без остатка). Среди предложенных чисел только число 133 делится на 7 без остатка.

Ответ. 2

A7. Таблица тригонометрических функций, формулы приведения.

Задание. Укажите номер верного утверждения:

1)    cos 30°=sin 60°;

2)    cos 60°=cos 120°;

3)    tg (3π/4)=1;

4)    ctg (4π/3)=-√3/3;

5)    sin 30°=-sin 150°.

Анализ

Задание на знание таблицы тригонометрических функций для некоторых углов и формул приведения. Однако, знание хотя бы таблицы уже позволило бы решить это задание верно, так как cos 30°=sin 60°=1/2, а за счет того, что в математике только один верный ответ, можем смело указывать в ответе 1.

Действительно, (2) не верно, так как 60° - угол I четверти, а 120° - II четверти, знаки косинусов там разные, то есть равенство (2) быть верным не может. Для (3) не верно, так как 3π/4 – угол II четверти, где значения тангенса отрицательны. Аналогично, для (4): угол 4π/3 – III четверти, где значения котангенса положительны. Для (5): угол 30° находится в I четверти, а угол 150° - во II. В обеих этих четвертях синусы положительны и не равны 0, а значит, значения синусов этих углов не могут быть противоположны.

Ответ 1.

A6. Действия с дробями

Задание. Найдите значение выражения

Варианты ответов:

1)    28/75;

2)    8/75;

3)    2/9;

4)    44/75;

5)    17/25.

Теория тут

Решение

Если не «в лоб», то

Но решая обычным методом, по действиям, получится примерно аналогично по энергозатратности.

Ответ. 4

A5. Числовая прямая

Задание. Сколько точек с целыми координатами расположено на координатной прямой между точками C(3π/4) и D(5π/2)?

Варианты ответов:

1)    2;

2)    7;

3)    5;

4)    6;

5)    4.

Анализ. С одной стороны, π=180°, но с другой, π~3,14. Так как в данном случае речь о числовой прямой, а не о градусной мере угла, принимаем π~3,14.

Решение

3π/4~9/4~2,1;
5π/2~15/2=7,5

Между числами 2,1 и 7,5 расположены целые числа 3; 4; 5; 6; 7. Всего их 5.

Ответ. 3

A4. Углы при параллельных прямых

Задание. На рисунке ے1=116°, ے2=64°, ے3=107°. Найдите ے4.

Варианты ответов

1)    116°;

2)    107°;

3)    64°;

4)    73°;

5)    58°.

Решение

При рассмотрении прямых a, b и секущей d замечаем, что углы 1 и 2 являются внутренними односторонними, а так как их сумма равна 116°+64°=180°, то делаем вывод, что прямые параллельны.
 Для нахождения градусной меры угла 4 введем в рассмотрение угол 5 и найдем его градусную меру, как смежного с углом 3: ے5=180°-107°=73°. Углы 5 и 4 – соответственные при секущей c, а значит, их градусные меры равны, то есть ے4=73°.

Ответ. 4

A3. Область определения выражения

Задание. Среди чисел -5; 5; 0,5; √5, 5^-1 укажите то, которое не входит в область определения выражения 

Варианты ответов:

1)    -5;

2)    5;

3)    0,5;

4)    √5;

5)    5^-1.

Решение

Данное выражение представляет из себя рациональную дробь, которая означает действие деление. При выполнении деления недопустимым является деление на 0, поэтому из перечисленных чисел в область определения не входит то, которое обращает знаменатель в 0. При подстановке вместо x числа -5 получаем x+5=-5+5=0, значит, оно не входит в область определения.

Ответ. 1

A2. Иррациональные и целые числа

Задание. Найдите целое решение системы неравенств

Варианты ответов:

1)    4;

2)    5;

3)    2;

4)    8;

5)    10.

Теория О целых числах (и числовых множествах) и о действиях с иррациональными числами

Решение

Так как 5=√25, то оно удовлетворяет системе неравенств. Действительно:

Аналогично можно убедиться в том, что остальные варианты ответов не подходят.

Ответ. 2

A1. Координатная плоскость

Задание. Какая из точек A(-3; 2); E(3; 2); D(-3; -2); B(0; 2); C(3; -2) расположена в III координатном углу (четверти)?

Варианты ответов:

1)    A;

2)    E;

3)    D;

4)    B;

5)    C.

Решение
Координатные четверти считаются следующим образом:

В III координатном углу обе координаты отрицательны,
поэтому правильным ответом будет точка D. Можно
изобразить все точки на координатной плоскости и
убедиться в этом.

Ответ. 3