A19. Неравенство с модулем

 Задание. Найдите сумму всех целых решений неравенства |x²-3x-13|>x²-3x-13

Варианты ответов:

1)    -9;

2)    9;

3)    0;

4)    -12;

5)    12.

Анализ

Обратим внимание, что выражение под модулем и выражение в правой части – равные многочлены, поэтому проанализируем, при каких a верно неравенство |a|>a. Понятно, что нам нужно рассмотреть случаи, когда a – отрицательное, положительное и равное нулю. Подставляем любые значения a и смотрим, верно ли неравенство:

При a=-1: |-1|>-1 – верно;

При a=0: |0|>0 – неверно.

При a=1: |1|>1 – неверно.

Решение

То есть, неравенство верно, когда под модулем стоит отрицательное выражение, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
x²-3x-13<0 – квадратное неравенство.

Рассмотрим функцию y= x²-3x-13. График – парабола, ветви направлены вверх, нули: D=9+4∙13=61. Корни находим приблизительно: x₁=(3-7,8)/2=-2,2; x₂=(3+7,8)/2=5,4. Строим схематично график:

Решение неравенства xϵ(-2,2; 5,4). Целые значения переменной -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. Сумма 3+4+5=12.

Ответ. 5