A18. Окружность, вписанная в трапецию

Задание. В прямоугольную трапецию площадью 768 вписана окружность радиуса 12. Найдите длину меньшего основания трапеции.

Варианты ответов:

1. 24;
2. 6;
3. 16;
4. 32;
5. 48;

Анализ

Окружность можно вписать только в тот четырехугольник, у которого суммы противолежащих сторон равны. Диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию равен ее меньшей боковой стороне. Площадь трапеции и радиус вписанной окружности связаны формулой S=r∙p, где p – полупериметр трапеции

Решение

Находим p=S:r=768:12=64, то есть BC+AD=AB+CD=p=64. Так как AB=d=2r=24, то CD=64-24=40. Проведем высоту CH=AB=d=2r=24 и рассмотрим треугольник CHD – прямоугольный, угол H – прямой. CH=24; CD=40. По теореме Пифагора находим DH=32. Учитывая, что BC=AH, обозначим BC=x, тогда AD=AH+HD=x+32. Составим уравнение BC+AD=64, откуда x+x+32=64; 2x=32; x=16. Значит, BC=16 – меньшее основание.

Ответ. 3