A20. Сечение

Задание. SABC – правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 13. Точка M лежит на ребре SB так, что BM:MS=2:1, NϵSA, NA:AS=1:3 (см. рис). Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M и N и параллельная ребру BC, пересекает основание ABC пирамиды.

Варианты ответов:

Решение

Построим искомый отрезок: соединим точки

M и N, так как они лежат в плоскости ABS. Пусть отрезок MN пересекает ребро AB в точке X. Проведем через X отрезок параллельный BC, который пересекает ребро AC в точке Y. XY – искомый отрезок. Для его нахождения необходимо узнать, в каком отношении точка X разбивает ребро AB. Для этого проведем прямую MP в плоскости ABS (P – точка пересечения MP и SA. AP:PS=BM:MS=2:1. SM=SP=MP. Пусть AN=x, тогда AS=3x, откуда AP=2x, SP=MP=x. Рассмотрим подобные треугольники NAX и NMP, k=AN:NP=AX:MP, k=1/3, значит, AX=x/3, учитывая, что AB=3x, получаем, AX:AB=1:9, то есть AXY – равносторонний треугольник со стороной AB/9=13/9= 1 4/9.

Ответ. 2

Видео разбор наиболее сложных заданий части а

A19. Неравенство с модулем

 Задание. Найдите сумму всех целых решений неравенства |x²-3x-13|>x²-3x-13

Варианты ответов:

1)    -9;

2)    9;

3)    0;

4)    -12;

5)    12.

Анализ

Обратим внимание, что выражение под модулем и выражение в правой части – равные многочлены, поэтому проанализируем, при каких a верно неравенство |a|>a. Понятно, что нам нужно рассмотреть случаи, когда a – отрицательное, положительное и равное нулю. Подставляем любые значения a и смотрим, верно ли неравенство:

При a=-1: |-1|>-1 – верно;

При a=0: |0|>0 – неверно.

При a=1: |1|>1 – неверно.

Решение

То есть, неравенство верно, когда под модулем стоит отрицательное выражение, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
x²-3x-13<0 – квадратное неравенство.

Рассмотрим функцию y= x²-3x-13. График – парабола, ветви направлены вверх, нули: D=9+4∙13=61. Корни находим приблизительно: x₁=(3-7,8)/2=-2,2; x₂=(3+7,8)/2=5,4. Строим схематично график:

Решение неравенства xϵ(-2,2; 5,4). Целые значения переменной -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. Сумма 3+4+5=12.

Ответ. 5

A18. Окружность, вписанная в трапецию

Задание. В прямоугольную трапецию площадью 768 вписана окружность радиуса 12. Найдите длину меньшего основания трапеции.

Варианты ответов:

1. 24;
2. 6;
3. 16;
4. 32;
5. 48;

Анализ

Окружность можно вписать только в тот четырехугольник, у которого суммы противолежащих сторон равны. Диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию равен ее меньшей боковой стороне. Площадь трапеции и радиус вписанной окружности связаны формулой S=r∙p, где p – полупериметр трапеции

Решение

Находим p=S:r=768:12=64, то есть BC+AD=AB+CD=p=64. Так как AB=d=2r=24, то CD=64-24=40. Проведем высоту CH=AB=d=2r=24 и рассмотрим треугольник CHD – прямоугольный, угол H – прямой. CH=24; CD=40. По теореме Пифагора находим DH=32. Учитывая, что BC=AH, обозначим BC=x, тогда AD=AH+HD=x+32. Составим уравнение BC+AD=64, откуда x+x+32=64; 2x=32; x=16. Значит, BC=16 – меньшее основание.

Ответ. 3

A17. Квадратные неравенства

 Задание. Укажите номера квадратных неравенств, которые верны при всех значениях x ϵ [1; 3].

1)    2x²-5x-7<0;

2)    2x²-8x+11>0

3)    4x²-16x+11>0;

4)    4x²-12x+9>0;

5)    2x²-8x+9<0.

Варианты ответов:

1)    2, 4;

2)    1, 2;

3)    3, 5;

4)    3, 4;

5)    1, 5.

Теория тут

Решение

Для решения квадратных неравенств используют свойства знакопостоянства соответствующей квадратичной функции. Так как графиком является парабола, то для схематичного построения графика нам необходимо указать направление ветвей (вверх или вниз, зависит от a>0 или a<0) и нули функции. У всех заданных функций ветви парабол направлены вверх. Найдем нули:

Ответ. 2

A16. Арифметическая прогрессия

Задание. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии (a_n), у которой a₁₃-a₆=28, a₁₄=26.

Варианты ответов:

1)    -98;

2)    -26;

3)    -78;

4)    -208;

5)    -102.

Теория тут

Решение.

Запишем все члены через a₁ – первый член и d – разность прогрессии: a₁₃=a₁+(13-1)d=a₁+12d; a₆=a₁+(6-1)d=a₁+5d; a₁₄=a₁+(14-1)a=a₁+13d.

Подставляем в условие, получаем, a₁₃-a₆=( a₁+12d)-( a₁+5d)=7d=28, откуда d=4. Теперь подставим найденное d в a₁₄: a₁+13∙4=26, откуда a₁=26-52=-26. Теперь зададим формулой n-й член прогрессии: a_n=a₁+(n-1)d=-26+(n-1)∙4=-26+4n-4=4n-30. Узнаем, сколько у нее отрицательных членов (поставим условие a_n<0): 4n-30<0, т.е. n<7,5. Т.к. n может принимать только натуральные значения, то все члены с 1 по 7, включая – отрицательные. Осталось найти сумму первых семи членов этой прогрессии: S₇=(2a₁+(7-1)d)/2∙7=(2∙(-26)+6∙4)/2∙7=-14∙7=-98/

Ответ. 1