Расстояние от точки основания равнобедренного треугольника до боковой стороны

Докажем, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон – величина постоянная и равная высоте этого треугольника, проведенной к его боковое стороне.

Пусть ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC. Точка X принадлежит основанию. XM – расстояние от точки X до стороны AB, XN – расстояние от точки X до стороны BC, AN – высота треугольника, опущенная на сторону BC. Доказать, что MX+XN=AH.

 Доказательство.

XM┴AB, XN┴BC по определению расстояния. Тогда проведем отрезок BX и площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABX и CBX. Воспользовавшись основной формулой для нахождения площади треугольника как полупроизведение стороны на высоту, проведенную к ней, получаем:

Приравнивая площадь треугольника ABC к сумме площадей треугольников ABX и CBX, получаем:

Что и требовалось доказать.

Теперь, зная этот факт, вы легко решите следующие задачи:

1.     Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 8. На основании отмечена точка X, расстояние от нее до одной из боковых сторон треугольника равно 3. Найдите расстояние от точки X до другой стороны треугольника.

2.     Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 8. Найдите расстояние от середины основания до боковой стороны.