Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами 3 и 4. Найдите периметр заданного треугольника.

Способ 1.
Анализ. Очевидно, что

Поэтому используя подобие треугольников, выразим через одну переменную стороны и свяжем их, используя данные значения периметров, а так же теорему Пифагора.

Решение. Так как 

то 

Пусть AH=x, BH=y, CH=h, тогда AC=4-(x+y), CB=3-(y+h).

Учитывая, что 

Из треугольника ACH по теореме Пифагора:

Свяжем теперь три стороны, используя периметр и найдем значение h:

Осталось подставить

Ответ: 5.

Способ 2.

Оказывается, что сумма квадратов периметров двух треугольников, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник, равна квадрату периметра этого треугольника.

Докажем это в общем виде.

Для начала напомню формулу квадрата суммы трех слагаемых:

Рассмотрим треугольники:

Пусть CB=a; AC=b, CH=h, HB=x, тогда AH=c-x. Учитывая, что угол A и угол BCH равны, получаем:

Для удобства в дальнейшем доказательстве я обозначила каждое равенство отдельным цветом. Далее находим сумму квадратов периметров "малых" треугольников:

Теперь, очевидно, для нахождения периметра треугольника необходимо

Ответ: 5.