Пределы. Неопределенность типа бесконечность/бесконечность

Первым делом, если от вас требуется найти предел, подставьте значение переменной, к которой она стремится:

 Однако, при вычислении пределов, не всегда получается красивое число. Часто, к примеру, выходит значение 0/0, которое, с одной стороны, вроде бы равно нулю. Ведь мы знаем, что при делении нуля на любое число, результат равен нулю. Но с другой стороны, еще с третьего класса мы знаем, что на ноль делить нельзя. Поэтому такое выражение, типа 0/0, будем называть неопределенностью. Вообще есть разные типы неопределенностей, но я познакомлю вас с неопределенностями типа

 Теперь я все же научу вас делить на 0. Но не в обычном примере на вычисление, а в пределе. Давайте достанем калькуляторы и убедимся, что

 Таким образом, чем меньше число, на которое мы делим, тем больше получается значение самого выражения. Поэтому возможно предположить, что если мы делим на самое маленькое число (знак учитывать не будем, поэтому по модулю) – то есть 0, то получать будем самое большое число, А это число ∞. 

 Но это очень грубая запись, математики так не любят, а вот запись такого плана

 Выглядит уже нормально, хоть и означает то же самое. Кстати, числителем не обязательно должно являться число 1. Вообще говоря, в числителе может стоять любое действительное число, а результат все равно будет тот же. Поэтому мы запомним 

 Где c – число.

Меняем делитель и частное местами и получим, что 

 Теперь как считать пределы неопределенности типа ∞/∞ .

Итак, если мы видим

 и при подстановки вместо переменной x , выходим на неопределенность вида ∞/∞, то необходимо найти старшую степень переменной и каждое слагаемое и числителя, и знаменателя разделить на эту степень. Сократить полученные дроби и еще раз подставить ∞ вместо переменной. Неопределенность должна уйти. Покажу на примере:

 Теперь нахожу старшую степень переменной, это x^2, значит каждое слагаемое разделю на x^2

 Разберу еще один пример:

 Теперь предлагаю вам найти следующие пределы самостоятельно:

Решение системы линейных уравнений

Решить систему линейных уравнений

 а) матричным способом

 Для решения этого уравнения, необходимо найти матрицу, обратную матрице A. Подробнее об этом здесь. Находим ее.

 Далее находим алгебраические дополнения

 Получаем обратную матрицу:

 Теперь находим столбец неизвестных:

 Ответ: (1; 0; 1)

б) методом Гаусса. Этот способ очень подробно разобран ранее (перейти к разбору)
в) результат проверим по формулам Крамера:

 Для нахождения Δ необходимо хорошо научиться вычислять определители. (изучить этот материал)

 Аналогично находим

 Теперь подставляем в формулы Крамера:

Ответ: (1; 0; 1)

Нахождение матрицы, обратной для данной.

Пусть нам необходимо найти матрицу, обратную для матрицы

 Находим определитель матрицы (подробнее об определителях тут)

Для нахождения алгебраического дополнения составляем определитель, путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

 И далее до конца

 Получаем

Иррациональные числа и действия над ними.

Иррациональным числом называется число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m – целое, n – натуральное . Примерами иррациональных чисел могут служить числа ㄫ, e, а так же числа, со знаками радикала n-ой степени, не являющиеся точными n-ми степенями.

Рассмотрим более подробно иррациональные числа, содержащие знак радикала (корня) второй степени, не являющиеся точными квадратами. Например, число √2 – иррациональное, так как никакое рациональное число в квадрате не равно 2.

 Отсюда вытекают два основных свойства квадратного корня:

 Если вы чувствуете, что число под корнем достаточно большое, однако целиком корень извлечь нельзя, попробуйте вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложите подкоренное число на простые множители и если в этом разложении существуют парные множители, из каждой пары вынесите по одному из-под знака корня. Например,

 Oднако при внесении и вынесении из-под знака корня множителей, содержащих переменные, будьте особенно внимательны! Почитайте Здесь

Действия над иррациональными числами.

Это означает, что для умножения и деления можно записать все под одним корнем, например:

√2・√3=√(2・3)=√6

Так же помним, что если перед корнем стоит множитель, а от перестановки множителей произведение не меняется, то

 5√2・4√3=5・√2・4・√3=5・4・√2・√3=20√6

Однако запомните раз и навсегда, что нет такого правила для сложения корней! Складывать (и вычитать) можно только числа с одинаковыми корнями, для этого складываем их рациональную часть, а корень оставляем тот же.

          Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Если видите знак корня в знаменателе дроби – избавляйтесь от нее!

Для начала напомню вам два правила:

 Иррациональность бывает двух типов:

11. В знаменателе стоит иррациональное число, над которым выполняют действие умножения (или вообще не выполняют никакого действия).

22. В знаменателе стоит число, участвующее в сложении или вычитании.

Для избавления от иррациональности в знаменателе в первом случае вам необходимо умножить и числитель и знаменатель дроби (основное свойство дроби) на точно такой же корень:

 Во втором случае вам необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на сопряженное выражение (точно такое же выражение, но с другим действием, производимым с числами):

Советую так же изучить статью, которая подскажет вам, как быть, если под знаком корня вы увидите сумму или разность, содержащую иррациональное число.

Задания, предложенные в тестах:
В5, РТ-19 (2 этап)
А11, РТ-20 (2 этап)

Дроби. Действия с обыкновенными дробями

Обыкновенной дробью называется число, записанное в виде m/n, где m и n – некоторые числа. Причем число m называется числителем дроби, а число n – знаменателем дроби. 

 Неправильная дробь всегда больше либо равна единице (равна в том случае, если числитель равен знаменателю). Таким образом, неправильную дробь всегда можно перевести в смешанное число, а смешанное число – в неправильную дробь. Для того, чтобы неправильную дробь перевести в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Неполное частное будет целой частью, остаток – числителем дробной части, а знаменатель остается прежним.

 Основное свойство дроби.

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

 Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же число применяют при сокращении дробей. Сократить дробь – значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же, отличное от нуля, число. По признакам делимости подбирают числа на которые делятся и числитель и знаменатель и постепенно сокращают дробь.

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число применяют при нахождении общего знаменателя для нескольких дробей, потому что складывать и вычитать дроби можно только с одинаковыми знаменателями.

Действия с дробями

Чтобы сложить или вычесть две дроби, нужно сначала привести их к общему знаменателю (общим знаменателем будет НОК знаменателей, больше информации), а затем сложить или вычесть их числители, знаменатель оставив прежним, в конце сократить полученный результат, если это возможно. Например, 

 Будем внимательны при сложении отрицательных чисел! Помним, что знак    «-» относится к тому числу, перед которым он стоит, поэтому лучше всего записать его в числитель следующей за ним дроби:

 При сложении и вычитании смешанных чисел лучше (но не обязательно) перевести их в неправильные дроби и дальше выполнять действия по правилу, изложенному выше.

Для умножения дробей числитель умножают на числитель, а знаменатель – на знаменатель. Сокращать лучше в процессе умножения, а не результат. Пример:

 Для умножения смешанных чисел всегда переводить их в неправильную дробь!

Для деления дробей первую дробь оставляют без изменения, деление заменяют умножением, а вторую дробь «переворачивают» и далее выполняют умножение:

 А теперь предлагаю вам, следуя правилам, решить пример на все действия.

Уравнения. Рациональные уравнения.

Уравнением с одной неизвестной величиной называется выражение вида P(x)=0. То есть, как только в алгебраическом выражении вы увидели одну неизвестную величину (чаще принято обозначать ее x) и знак =, то перед нами уравнение. Итак, что же всегда можно делать при решении уравнений? (равносильные переходы):

1.  Переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак слагаемого на противоположный.
2. Умножать или делить обе части уравнения на отличное от нуля число (ни в коем случае на выражение, содержащее переменную, если только изначально вы не проверили, что в случае, если выражение, на которое вы делите или умножаете, не может равняться нулю исходя из условия задачи)

Чтобы решить уравнение, нужно сначала определить его тип. Рациональным будем называть такое уравнение, где переменная встречается только с натуральной степенью (сюда же будем относить и дробно-рациональные, где переменная может оказаться в знаменателе, но она также будет иметь только натуральную степень). Никаких корней, логарифмов, переменной в степени и конечно же, тригонометрических функций с аргументом x.

Способов решения дробно-рациональных уравнений существует гораздо больше, однако в ЦТ чаще всего встречаются следующие:

1.  Приведение рационального выражения к общему знаменателю.
2.  Разложение на множители
3. Замена переменных
4. Метод введения новых переменных

Для примера предлагаю прорешать вам самостоятельно следующие уравнения с моими подсказками и свериться с ответами.

Решенные задания из тестов:
А15, РТ-18(2 этап)
A8, РТ-19 (1 этап)

И снова - здравствуйте!

До начала очередного учебного года остается всего ничего, поэтому надо бы уже настраиваться на рабочий лад. Спешу сообщить, что в этом году подготовка к ЦТ здесь пройдет в более плотном режиме, я буду стараться побольше писать и контролировать процесс самостоятельными заданиями. Поэтому, кто хочет с моей помощью подготовиться - самое время присоединяться!

Подготовка к тестированию пройдет в несколько этапов.

1. С сентября до 1 этапа РТ мы подтягиваем хвосты, вливаемся в работу, обязательно повторяем темы: Числа и вычисления (уделяем вниманию примерам на вычисления, содержащие обыкновенные дроби, периодические дроби и иррациональные числа), Числовые множества, Одночлены и многочлены, Разложение многочленов на множители, Преобразование алгебраических выражений, Линейное уравнение, неравенство, функция; Квадратный трехчлен, уравнение, неравенство, квадратичная функция, Выделение полного квадрата, Извлечение квадратного корня из суммы или разности, Внесение и вынесение множителя из-под корня, Функции, Преобразования графиков функций. Самой важной задачей на этот период подготовки ставим полный разбор прошлогоднего 2 и 3 этапов РТ и для самостоятельного контроля - решение моего варианта итогового тренировочного теста с самостоятельной проверкой.
2. Затем до 2 этапа РТ мы переходим к изучению всех видов уравнений и неравенств: дробно-рациональные уравнения, рациональные неравенства, иррациональные уравнения, показательные уравнения и неравенства, определение и свойства логарифмов, логарифмические уравнения и неравенства.
3. Между 2 и 3 этапами РТ занимаемся тригонометрией и решаем текстовые задачи.
4. После 3 этапа и до середины мая бросаемся с головой в геометрию.
5. Последний месяц перед тестированием повторяем и обобщаем весь изученный материал.

А тем, кто хочет заниматься со мной еще и лично - связываемся со мной Вконтакте, у меня остались еще места на групповое занятие.