Способы решения некоторых дифференциальных уравнений (часть 3) (уравнения высших порядков, допускающие понижения)

 Не очень люблю такие дифференциальные уравнения, потому что в них не нужно думать, в них нужно просто уметь очень хорошо брать интегралы. Это уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка, правая часть которых – функция одной переменной.

Например, найти общее решение дифференциального уравнения

Левая часть уравнения – производная третьего порядка, а правая – функция, зависящая только от переменной x. Для решения данного уравнения нужно взять три раза производную:

Способы решения некоторых дифференциальных уравнений (часть 2) (Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка)

Найти общее решение или общий интеграл:

 Разделим обе части уравнения на x³:

 Далее подставляем полученную функцию в (*) и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися или разделенными  переменными:

 Решаем относительно функции u, находим ее и делаем обратную замену y=uv. Решать в общем виде я не буду, чтобы не сильно испугать таким решением. Перейдем к конкретному примеру:

 Подставляем в (*):

Способы решения некоторых дифференциальных уравнений (часть 1)

В рамках подготовки одной моей ученицы к контрольной по дифференциальным уравнениям, рассмотрю способы решения некоторых их типов.

Тип 1.

Решить задачу Коши для уравнения

 Задача Коши для дифференциального уравнения – это начальные условия для его решения поэтому сначала все равно нужно решать само уравнение.

 Уравнение с разделенными переменными, так как функция перед dy зависит только от переменной y, а функция перед dx – только от переменной x. Для решения такого уравнения достаточно проинтегрировать обе части:

 Получаем общий интеграл для решения дифференциального уравнения:

 Подставляем начальные условия: y(0)=0 (то, что в скобках – вместо x, то, чему это равно – вместо y):

 Таким образом, решение задачи Коши:

 Тип 2.

Решить задачу Коши

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в заданной области

 Для начала необходимо построить заданную область.

Функция x=0 – прямая, параллельная оси Oy, проходящая через точки, абсцисса (x)  которых равна 0, то есть сама ось Oy.

Функция y=0 – прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точки, ордината (y) которых равна 0, то есть сама ось Ox.

Для построения графика функции x+y-1=0 выразим y: y=1-x – линейная функция. Для построения ее графика составим таблицу на 2 точки: значение x берем любое (0 и 1), и считаем для них соответственные значения y, подставляя их в получившуюся формулу:

При x=0, y=1-0=1

При x=1, y=1-1=0

Получаем точки:

 Чертим область D

 Заштрихованная область – область D:

Далее наибольшее и наименьшее значение в области D функция может принимать либо в точках экстремума (если они находятся в области), либо на граничных прямых
 (x=0; y=0; y=1-x), либо в граничных точках: (0; 0); (1; 0); (0; 1). Рассмотрим все три случая.

        Точку экстремума находим по формуле:

        Теперь рассмотрим поведение функции на граничных линиях и найдем экстремумы на них.

        Находим значения функции в граничных точках E(0; 0); F(1; 0); G(0; 1)

1

              z(0; 0)=3⋅0+3⋅0-2⋅0-2⋅0+2=2;

              z(1; 0)=3⋅1+3⋅0-2⋅1-2⋅0+2=3

              z(0; 1)=3⋅0+3⋅1-2⋅0-2⋅1+2=3;

Наибольшее z(0; 1)=z(1;0)=3
Наименьшее z(1/3; 1/3)=4/3

Производная по направлению и градиент

 Для начала находим координаты вектора M1M2. Для этого от координат его конца, то есть точки M2 отнимаем координаты его начала, то есть точки M1:

 Теперь находим длину вектора по формуле:

 То есть длина вектора M1M2 :

 Теперь находим направляющие косинусы по формуле:

 Для вектора M1M2  они будут соответственно равны:

 Теперь необходимо найти производную функции u(x; y; z) в точке M1 . Вспомним таблицу производных. Для этого сначала находим производную функции u(x; y; z). Но так как эта функция – функция нескольких переменных, то находим ее частные производные.

Так как функция сложная, то 

 Теперь находим частные производные в точке M1. Для этого в найденные частные производные подставляем координаты точки M1.

 Теперь находим производную функции в точке M1 по направлению вектора M1M2  по формуле:

 Подставляем найденные ранее значения:

 grad u(M1) находится по формуле:

 Все значения найдены ранее, поэтому просто подставляем:

Пределы. Неопределенность типа 0/0

Сразу поговорим об оформлении: если в записи присутствует переменная, то спереди нужно писать lim, если вместо переменной мы подставляем ее значение, то lim уже не пишется.

Если мы видим

 Где a– число, и при подстановке вместо переменной x, выходим на неопределенность вида 0/0, то необходимо сократить дробь, предварительно разложив числитель и знаменатель на множители. Причем сокращать всегда будем на множитель, равный нулю, после сокращения снова подставляем вместо переменной a, неопределенность должна уйти.

Здесь могут встретиться два случая:

1. Числитель и знаменатель дроби – многочлены. Тогда раскладываем их одним из трех способов:

·        Вынесением общего множителя за скобку

·        Используя формулы сокращенного умножения

·        По формуле

2   В числителе и (или) знаменателе дроби – выражения, одно или оба слагаемых которого содержат знак квадратного корня. В этом случае домножаем и числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное такому выражению и далее пользуемся формулой разности квадратов. Сопряженными называются выражения (a-b)  и (a+b)  Объясню: 

      Получаем

 В решении предела это выглядело бы так:

 Разберу еще несколько примеров:

 Получаем

 Предлагаю задания для самостоятельного решения

Пределы. Неопределенность типа бесконечность/бесконечность

Первым делом, если от вас требуется найти предел, подставьте значение переменной, к которой она стремится:

 Однако, при вычислении пределов, не всегда получается красивое число. Часто, к примеру, выходит значение 0/0, которое, с одной стороны, вроде бы равно нулю. Ведь мы знаем, что при делении нуля на любое число, результат равен нулю. Но с другой стороны, еще с третьего класса мы знаем, что на ноль делить нельзя. Поэтому такое выражение, типа 0/0, будем называть неопределенностью. Вообще есть разные типы неопределенностей, но я познакомлю вас с неопределенностями типа

 Теперь я все же научу вас делить на 0. Но не в обычном примере на вычисление, а в пределе. Давайте достанем калькуляторы и убедимся, что

 Таким образом, чем меньше число, на которое мы делим, тем больше получается значение самого выражения. Поэтому возможно предположить, что если мы делим на самое маленькое число (знак учитывать не будем, поэтому по модулю) – то есть 0, то получать будем самое большое число, А это число ∞. 

 Но это очень грубая запись, математики так не любят, а вот запись такого плана

 Выглядит уже нормально, хоть и означает то же самое. Кстати, числителем не обязательно должно являться число 1. Вообще говоря, в числителе может стоять любое действительное число, а результат все равно будет тот же. Поэтому мы запомним 

 Где c – число.

Меняем делитель и частное местами и получим, что 

 Теперь как считать пределы неопределенности типа ∞/∞ .

Итак, если мы видим

 и при подстановки вместо переменной x , выходим на неопределенность вида ∞/∞, то необходимо найти старшую степень переменной и каждое слагаемое и числителя, и знаменателя разделить на эту степень. Сократить полученные дроби и еще раз подставить ∞ вместо переменной. Неопределенность должна уйти. Покажу на примере:

 Теперь нахожу старшую степень переменной, это x^2, значит каждое слагаемое разделю на x^2

 Разберу еще один пример:

 Теперь предлагаю вам найти следующие пределы самостоятельно: