Экспресс подготовка к ЦТ

 Если вы давно читаете мой блог, то знаете, как ответственно я отношусь к подготовке своих учеников к ЦТ. И я придумала для вас кое-что интересненькое. В марте стартует мой курс экспресс подготовки, ну который вы сможете присоединиться либо в начале марта (весь март работаем над А частью), либо с апреля (добавим Б-часть). За основу я взяла РТ-2 этапа, по каждому заданию подобрала море задач, аналогичных тестовым, записала полезные обучающие видео и готова всем этим с вами поделиться. Все задания буду поверять и комментировать. Так что не упустите возможность попасть ко мне в группу. По поводу стоимости и бронирования места вы можете уточнить на моей странице вконтакте

B6. Планиметрия.

Задание. Биссектриса угла ABC (ﮮABC=60°) пересекает сторону AD в точке H так, что AH:HD=2:1, BH=8. Найдите значение S², где S – площадь параллелограмма ABCD.

Решение

Треугольник ABH – равнобедренный (углы ABH и AHB равны углу HBC, а значит, равны между собой. ﮮABH=ﮮHBC т.к. BH – биссектриса по условию, ﮮAHB=ﮮHBC=30° как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей BH

Ответ. 768

B5. Тригонометрическое уравнение

 Задание. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный и наименьший положительный корни уравнения sin 9x∙cos 9°+cos 9x∙sin 9°=-1. В ответ запишите их произведение.

Решение

При n=0, x=-11 – наибольший отрицательный

При n=1, x=-11+40=29 – наименьший положительный

Произведение: -11∙29=-319

Ответ. -319

B4. Угол между плоскостями

 

Теория  

Решение. Пусть CH – расстояние от точки C до плоскости β, а CM – расстояние от точки C до прямой l. По определению расстояния CH – перпендикуляр на плоскость β, CM┴l. Теорема о трех перпендикулярах: CH – перпендикуляр, CM – наклонная MH – проекция, прямая l перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и проекции. 

φ – угол между плоскостями, по определению он равен углу между перпендикулярами к прямой l, то есть между прямыми HM и CM, то есть углу CMH. Треугольник CHM – прямоугольный, у которого катет CH в 16 раз меньше гипотенузы CM. Обозначив CH=x, CM=16x, по теореме Пифагора MH=x√255, значит, tg φ – это отношение CH к MH, то есть tg φ = 1/√255, тогда 1/(tg² φ)=255.

Ответ. 255

Каникулы 2020

В связи со сложившейся ситуацией с апреля-месяца я вынуждена была перевести всех своих учеников на дистанционное обучение. Из-за этого у меня было очень много работы онлайн, а посему сил, времени и желания вести еще дополнительно и блог, не оставалось. В конце года мы, перестраховавшись тысячу раз, встретились на групповых занятиях и усердно готовились к ЦТ. Как результат - отличные баллы, причем двое моих учеников набрали по 81 баллу, что не может не радовать. Средний балл - 61.

С нового учебного года я снова буду стараться чаще выкладывать новые записи, делать разбор каких-то задач, следить за стремительно меняющимися условиями поступления абитуриентов. 

Уже сейчас открыт набор на новый учебный год и ведется запись на групповые занятия, а также в этом году представляю новинку: дистанционная подготовка к ЦТ. Для обсуждения лучше связаться со мной и обговорить детали.

Ну и всем хорошо провести оставшуюся часть лета!

B9. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите сумму всех целых корней уравнения

Теория По иррациональным уравнениям однако настоятельно рекомендую разобрать вот эти Примеры

Анализ. При решении необходимо заметить, что выражения под знаком корня являются полными квадратами, далее, применяя формулы и извлекая корень из полного квадрата придем к иррациональному уравнению с модулем:

Решение

Объединяя решение получаем, что решением уравнения |t-1|+|t-2|=1 является промежуток [1; 2] или 1≤t≤2. Выполним обратную замену: 

Сумма целых значений, удовлетворяющих этому условию равна 4+5+6+7=22.

Ответ. 22

B7. Планиметрия

Задание. Точка M лежит внутри угла A равного 60° и находится на расстоянии √7 и 4√7 от его сторон. Найдите длину отрезка AM.

Решение

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, значит, треугольники AMN и AKM – прямоугольные. Вокруг каждого из них можно описать окружность, центр которой лежит на середине AM и радиусом, равным половине AM, то есть, эти окружности совпадают, а значит, около четырехугольника ANMK можно описать окружность, значит, ےA+ےM=180°, откуда ےM=120°. 

Далее по теореме косинусов из треугольника MNK находим сторону NK:
NK²=MN²+MK²-2∙MK∙MK∙cos120°.
NK²=7+16∙7-2∙√7∙4√7∙(-1/2)=7+16∙7+4∙7=7∙21=49∙3
NK=7√3.

Так как та же самая окружность описана и вокруг треугольника ANK, то по теореме синусов NK/(sinA)=2R, находим R=NK/(2sinA)=7√3/(2∙√3/2)=7.

AM является диаметром окружности, значит, d=2R=14.

Ответ. 14

B6. Показательное неравенство

Задание. Найдите сумму всех целых отрицательных чисел из области определения функции

Теория  может пригодиться рациональные неравенства

Решение

Так как функция представляет из себя корень, то ее область определения задается условием: подкоренное выражение неотрицательно:

Так как 36>1, то переходим к рациональному неравенству:

Сумма целых отрицательных решений -8+(-7)+(-6)=-21.

Ответ. -21

B5. Стереометрия

 Задание. Найдите площадь полной поверхности куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если расстояние от точки C до плоскости B₁AD₁ равно 4√3.

Решение

Для быстрого решения задачи очень важно знать формулы!!!

Фактически, в задаче нам дана высота тетраэдра CAD₁B₁, у которого все ребра равны диагоналям граней куба. Поэтому, пусть ребро куба a, тогда диагональ грани куба (ребро тетраэдра a√2). Выразим через a высоту тетраэдра

Треугольники D₁AB₁ и CAB₁ – равносторонние со стороной a√2, тогда CN как высота, биссектриса и медиана равностороннего треугольника равна (a√2√3)/2=(a√6)/2, а ON как радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности (a√2√3)/6=(a√6)/6. Далее связываем теоремой Пифагора для треугольника CON:

(4√3)²+(a√6/6)²=(a√6/2)²
48+a²/6=3a²/2
9a²/6-a²/6=48
8a²/6=48
a²=36
a=6

Значит, ребро куба равно 6, тогда площадь полной поверхности 6∙36=216

Ответ. 216