Пределы. Неопределенность типа 0/0

Сразу поговорим об оформлении: если в записи присутствует переменная, то спереди нужно писать lim, если вместо переменной мы подставляем ее значение, то lim уже не пишется.

Если мы видим

 Где a– число, и при подстановке вместо переменной x, выходим на неопределенность вида 0/0, то необходимо сократить дробь, предварительно разложив числитель и знаменатель на множители. Причем сокращать всегда будем на множитель, равный нулю, после сокращения снова подставляем вместо переменной a, неопределенность должна уйти.

Здесь могут встретиться два случая:

1. Числитель и знаменатель дроби – многочлены. Тогда раскладываем их одним из трех способов:

·        Вынесением общего множителя за скобку

·        Используя формулы сокращенного умножения

·        По формуле

2   В числителе и (или) знаменателе дроби – выражения, одно или оба слагаемых которого содержат знак квадратного корня. В этом случае домножаем и числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное такому выражению и далее пользуемся формулой разности квадратов. Сопряженными называются выражения (a-b)  и (a+b)  Объясню: 

      Получаем

 В решении предела это выглядело бы так:

 Разберу еще несколько примеров:

 Получаем

 Предлагаю задания для самостоятельного решения

Пределы. Неопределенность типа бесконечность/бесконечность

Первым делом, если от вас требуется найти предел, подставьте значение переменной, к которой она стремится:

 Однако, при вычислении пределов, не всегда получается красивое число. Часто, к примеру, выходит значение 0/0, которое, с одной стороны, вроде бы равно нулю. Ведь мы знаем, что при делении нуля на любое число, результат равен нулю. Но с другой стороны, еще с третьего класса мы знаем, что на ноль делить нельзя. Поэтому такое выражение, типа 0/0, будем называть неопределенностью. Вообще есть разные типы неопределенностей, но я познакомлю вас с неопределенностями типа

 Теперь я все же научу вас делить на 0. Но не в обычном примере на вычисление, а в пределе. Давайте достанем калькуляторы и убедимся, что

 Таким образом, чем меньше число, на которое мы делим, тем больше получается значение самого выражения. Поэтому возможно предположить, что если мы делим на самое маленькое число (знак учитывать не будем, поэтому по модулю) – то есть 0, то получать будем самое большое число, А это число ∞. 

 Но это очень грубая запись, математики так не любят, а вот запись такого плана

 Выглядит уже нормально, хоть и означает то же самое. Кстати, числителем не обязательно должно являться число 1. Вообще говоря, в числителе может стоять любое действительное число, а результат все равно будет тот же. Поэтому мы запомним 

 Где c – число.

Меняем делитель и частное местами и получим, что 

 Теперь как считать пределы неопределенности типа ∞/∞ .

Итак, если мы видим

 и при подстановки вместо переменной x , выходим на неопределенность вида ∞/∞, то необходимо найти старшую степень переменной и каждое слагаемое и числителя, и знаменателя разделить на эту степень. Сократить полученные дроби и еще раз подставить ∞ вместо переменной. Неопределенность должна уйти. Покажу на примере:

 Теперь нахожу старшую степень переменной, это x^2, значит каждое слагаемое разделю на x^2

 Разберу еще один пример:

 Теперь предлагаю вам найти следующие пределы самостоятельно: