A13. Вычислительный пример с иррациональными числами.

Задание. Значение числового выражения

Варианты ответов:

1)    3√6+5;

2)    5-2√6;

3)    √6+5;

4)    5-√6;

5)    3√6-5.

Теория здесь

Анализ

Задание на знание свойств корней четной и нечетной степени, сравнение иррациональных чисел и умение раскрывать модуль, используя его определение:

Решение

Ответ. 5

Если при решении возникли вопросы, советую посмотреть это видео

 

A11. Иррациональные вычисления

Задание. Упростите выражение

Варианты ответов:

1)    -√6;

2)    6;

3)    -6;

4)    √6;

5)    3√2(√5-√7)

Теория тут

Решение

Способ 1

Способ 2 (предварительно изучите как вносить множитель под знак корня )

Ответ. 1

A2. Иррациональные и целые числа

Задание. Найдите целое решение системы неравенств

Варианты ответов:

1)    4;

2)    5;

3)    2;

4)    8;

5)    10.

Теория О целых числах (и числовых множествах) и о действиях с иррациональными числами

Решение

Так как 5=√25, то оно удовлетворяет системе неравенств. Действительно:

Аналогично можно убедиться в том, что остальные варианты ответов не подходят.

Ответ. 2

A14. Сравнение иррациональных чисел

Задание. Расположите числа 16; 6√6; (4√15)+1 в порядке возрастания

Варианты ответов:

1)    16; 6√6; (4√15)+1.

2)    16; (4√15)+1; 6√6.

3)    (4√15)+1; 6√6; 16.

4)    6√6; 16; (4√15)+1;

5)    6√6; (4√15)+1; 16.

Теория Тут

Решение.

Сначала сравним числа 16 и 6√6. Так как 16=√16²=√256, а 6√6=√(6²∙6)=√(36∙6)=√216, то 16>6√6.
Теперь сравним 16 и (4√15)+1. Это все равно что сравнить числа 15 и 4√15.
15=√225, а 4√15=√(16∙15)=√240. Поэтому, 15<4√15, значит, 16 < (4√15)+1.
Значит, в порядке возрастания числа следует записать так: 6√6; 16; (4√15)+1.

Ответ. 4

A6. Действия с иррациональными числами

Задание. Найдите значение выражения

Варианты ответов

1)    4;

2)    -4;

3)    8;

4)    -8;

5)    2.

Теория  тут

Решение

Ответ. 1

A13. Извлечение корня из суммы (разности)

Задание. Решите уравнение

 Варианты ответов.

1. 9;
2. 10;
3. 14;
4. 25;
5. 5.

Анализ. Правая часть уравнения содержит разность двух корней, для нахождения значения которых необходимо под корнем выделить полный квадрат суммы или разности.

Теория. обязательно к изучению!
Решение.

Далее решаем уравнение

x-5=4;

x=5+4;

x=9.

Ответ. 1.

A3. Иррациональные числа.

Задание. На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D, F.

Укажите точку, координата x которой удовлетворяет условию

Варианты ответов.

1. A;
2. B;
3. C;
4. D;
5. F.

Анализ. Задача, связанная с определением цены деления, а так же умением находить приближенное значение корня.

Решение. Цена деления здесь очевидно 1 клетка = 1 единица, далее находим значения иррациональных чисел приближенно, так как извлечь корни рациональным числом нельзя.

Значит, на силовой прямой нужно искать число, которое удовлетворяет двум условиям, а так как на числовой прямой присутствует точка D с координатой 4, то она удовлетворяет заданным условиям.

Ответ. 4

B5. Иррациональные числа

Задание. Найдите значение выражения

Теория. здесь
Анализ.Произведем вычисления в два этапа.
Решение.

Для нахождения значения следующего выражения необходимо выделить под корнем полный квадрат

Выполняем умножение:

Ответ. -35

A11 иррациональные числа и действия над ними

Значение выражения

 Равно:

 Преобразуем выражение

Для более подробного пояснения советую ознакомиться с данным материалом
Ответ. 1

Иррациональные числа и действия над ними.

Иррациональным числом называется число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m – целое, n – натуральное . Примерами иррациональных чисел могут служить числа ㄫ, e, а так же числа, со знаками радикала n-ой степени, не являющиеся точными n-ми степенями.

Рассмотрим более подробно иррациональные числа, содержащие знак радикала (корня) второй степени, не являющиеся точными квадратами. Например, число √2 – иррациональное, так как никакое рациональное число в квадрате не равно 2.

 Отсюда вытекают два основных свойства квадратного корня:

 Если вы чувствуете, что число под корнем достаточно большое, однако целиком корень извлечь нельзя, попробуйте вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложите подкоренное число на простые множители и если в этом разложении существуют парные множители, из каждой пары вынесите по одному из-под знака корня. Например,

 Oднако при внесении и вынесении из-под знака корня множителей, содержащих переменные, будьте особенно внимательны! Почитайте Здесь

Действия над иррациональными числами.

Это означает, что для умножения и деления можно записать все под одним корнем, например:

√2・√3=√(2・3)=√6

Так же помним, что если перед корнем стоит множитель, а от перестановки множителей произведение не меняется, то

 5√2・4√3=5・√2・4・√3=5・4・√2・√3=20√6

Однако запомните раз и навсегда, что нет такого правила для сложения корней! Складывать (и вычитать) можно только числа с одинаковыми корнями, для этого складываем их рациональную часть, а корень оставляем тот же.

          Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Если видите знак корня в знаменателе дроби – избавляйтесь от нее!

Для начала напомню вам два правила:

 Иррациональность бывает двух типов:

11. В знаменателе стоит иррациональное число, над которым выполняют действие умножения (или вообще не выполняют никакого действия).

22. В знаменателе стоит число, участвующее в сложении или вычитании.

Для избавления от иррациональности в знаменателе в первом случае вам необходимо умножить и числитель и знаменатель дроби (основное свойство дроби) на точно такой же корень:

 Во втором случае вам необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на сопряженное выражение (точно такое же выражение, но с другим действием, производимым с числами):

Советую так же изучить статью, которая подскажет вам, как быть, если под знаком корня вы увидите сумму или разность, содержащую иррациональное число.

Задания, предложенные в тестах:
В5, РТ-19 (2 этап)
А11, РТ-20 (2 этап)