A10. Площадь в системе координат

Задание. На координатной плоскости изображен параллелограмм ABCD с вершинами в узлах сетки. Найдите площадь параллелограмма ABCD. 

Варианты ответов:

1)    36;

2)    18;

3)    72;

4)    48;

5)    96.

Анализ. Обращаем внимание, что одна клетка равна 2 единичным отрезкам!

Решение.

Для нахождения площади параллелограмма ABCD можно найти площадь треугольника BDC и умножить полученное значение на 2, так как площади треугольников BDC и ABD равны. (Если сомневаетесь в этом, находите отдельно площади треугольников BDC и ABD). 

Для нахождения площади треугольника BDC опустим высоту C из вершины C на сторону BD. Так как треугольник тупоугольный, то высота, опущенная из вершины острого угла лежит вне треугольника и проецируется на продолжение стороны BD.

S=1/2 BD∙CH=1/2∙(6∙2)∙(3∙2)=1/2∙12∙6=72

Ответ. 3

B7. Площадь параллелограмма

Задание. Длина одной из сторон параллелограмма равна длине его диагонали и равна 7, длина второй диагонали равна √57. Найдите значение выражения S², где S – площадь параллелограмма.

Решение

По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, значит, CO=(√57)/2, OD=7/2. По теореме косинусов из ΔCOD

Теперь, основываясь на основное тригонометрическое тождество, найдем:

Находим S(ΔCOD)

Так как CO является медианой треугольника BDC, а медиана разбивает треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, то S(ΔBDC)=2∙2√3=4√3. А площадь параллелограмма равна 2∙4√3=8√3.

S²=(8√3)²=64∙3=192.

Ответ. 192

B7. Площади фигур

Задание. Площадь параллелограмма ABCD равна 80. Точки M и N лежат на сторонах AD и CD параллелограмма так, что AM:MD=1:3, CN:ND=3:2. Найдите площадь треугольника BMN. 

Анализ. Параллелограмм – квадрируемая фигура, то есть при разбиении параллелограмма на несколько фигур, сумма площадей всех получившихся фигур равна площади параллелограмма. Таким образом, можно найти площади треугольников ABM, BCN, MND и затем вычесть их сумму из площади параллелограмма, получив таким образом площадь треугольника BMN. 

Теория. Площадь параллелограмма находим по формуле S=absinα, где α – угол, между смежными сторонами, площадь треугольника находим по формуле S=1/2absinα, где α – угол, между этими сторонами. Учитывая, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит сумма углов, прилежащих к одной и той же стороне равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей). Если сумма двух углов равна 180°, то их синусы равны (по формуле приведения). Пусть α+β=180°, тогда sin α = sin (180°-β) = sin β.

Решение. Учитывая, что AM:MD=1:3, CN:ND=3:2. Пусть AM = x, тогда MD = 3x, CN=3y, ND=2y, BC=AD=AM+MD=4x, AB=CD=3y+2y=5y.

S(ABCD)=AB∙AD∙sinα=4x∙5y∙sinα=20xysinα=80, откуда xysinα=4

S(ABM)=1/2AB∙AM∙sinα=1/2∙x∙5y∙sinα=5/2 xysinα=10

S(NDM)=1/2DN∙MD∙sinα=1/2∙3x∙2y∙sinα=3 xysinα=12

S(BCN)=1/2BC∙CN∙sinα=1/2∙4x∙3y∙sinα=6 xysinα=24

S(BMN)= S(ABCD)-( S(ABM)+ S(NDM)+ S(BCN))=80-(10+12+24)=80-46=34

Ответ. 34

A14. Составление выражения для определения площади

Задание. На рисунке изображен квадрат со стороной, равной 1. Составьте выражение для определения площади заштрихованной части квадрата, если AO=BO=CO=DO=x. 
Варианты ответов.












Анализ. Заштрихованная часть получилась после того, как квадрат разбили диагоналями на 4 треугольника, а потом из этих треугольников "вырезали" маленькие треугольники.
Решение. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. Он разбит на 4 равных треугольника, площадь каждого ¼, значит площадь трех треугольников ¾. Из этих треугольников «вырезали» три равных прямоугольных (так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом) равнобедренных треугольника с катетами x (по условию). Площадь каждого треугольника S=1/2∙x² . Площадь трех таких треугольников 3/2∙x² .Значит, площадь заштрихованной фигуры
¾-3/2 x²
Ответ. 1.