А20. Стереометрия (развертка)

Задание. На рисунках 1 и 2 изображены прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с основанием ABCD и его развертка. Найдите длину ломаной B₁D₁KB, если ےC₁B₁D₁=60°, CD=9 и точки B₁, D₁, K и B лежат на одной прямой.

Варианты ответов:

1)    27;

2)    27√2;

3)    81√3/2;

4)    12√3+6;

5)    12√3+9.

Теория может пригодиться

Решение

Длину отрезка B₁D₁ найдем из прямоугольного треугольника B₁C₁D₁, у которого C₁D₁=CD=9, ےC₁B₁D₁=60° по условию, значит, sin( ےC₁B₁D₁)=C₁D₁/B₁D₁, откуда B₁D₁=C₁D₁/sin ےC₁B₁D₁=9/(√3/2)=18/√3=6√3, B₁C₁=3√3 как катет, лежащий против угла в 30°.

Далее, так как точки B₁, D₁, K и B лежат на одной прямой, то ےAKB=ےC₁B₁D₁=60° как соответственные при AA₁||CB₁ и секущей BB₁, а ےAKB=ےD₁KA₁ как вертикальные.

Длину D₁K найдем из прямоугольного треугольника D₁KA₁, у него D₁A₁= B₁C₁=3√3, ےD₁KA₁=60°, значит sin( ےA₁KD₁)=A₁D₁/KD₁, откуда KD₁=A₁D₁/sin 60°=(3√3)/(√3/2)=6.

Длину BK найдем из прямоугольного треугольника BKA, у него AB= CD=9, ےAKB=60°, значит sin( ےAKB)=AB/KB, откуда KB=AB/sin 60°=9/(√3/2)=6√3.

Длина ломаной B₁D₁KB=B₁D₁+D₁K+KB=6√3+6+6√3=12√3+6.

Ответ. 4

Расстояние от точки основания равнобедренного треугольника до боковой стороны

Докажем, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон – величина постоянная и равная высоте этого треугольника, проведенной к его боковое стороне.

Пусть ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC. Точка X принадлежит основанию. XM – расстояние от точки X до стороны AB, XN – расстояние от точки X до стороны BC, AN – высота треугольника, опущенная на сторону BC. Доказать, что MX+XN=AH.

 Доказательство.

XM┴AB, XN┴BC по определению расстояния. Тогда проведем отрезок BX и площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABX и CBX. Воспользовавшись основной формулой для нахождения площади треугольника как полупроизведение стороны на высоту, проведенную к ней, получаем:

Приравнивая площадь треугольника ABC к сумме площадей треугольников ABX и CBX, получаем:

Что и требовалось доказать.

Теперь, зная этот факт, вы легко решите следующие задачи:

1.     Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 8. На основании отмечена точка X, расстояние от нее до одной из боковых сторон треугольника равно 3. Найдите расстояние от точки X до другой стороны треугольника.

2.     Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 8. Найдите расстояние от середины основания до боковой стороны.

B1. Линии в треугольнике

Задание. Корректно соотнесите начало предложения с его окончанием, исходя из рисунка:

Анализ. Чисто теоретическое задание, однако будем очень внимательны при записи ответов, можно запутаться в буквах при выборе. 

Теория.

Вершиной треугольника ABC называется любая из точек A, B и C.

Биссектриса угла – это луч, который выходит из вершины этого угла и делит данный угол на два равных угла. Биссектриса треугольника – это луч, содержащий биссектрису угла треугольника.

Серединный перпендикуляр к стороне – это прямая, перпендикулярная стороне (образует со стороной угол в 90°) треугольника и проходящая через ее середину.

Высота треугольника – это отрезок, выходящий из вершины треугольника и перпендикулярный противолежащей стороне.

Медиана треугольника – это отрезок, выходящий из вершины треугольника и проведенный к середине противолежащей стороны.

Ответ А5Б1В2

A18. Развертка

Задание. На рисунках 1 и 2 изображены прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁,

основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник (ےA=90°), и ее развертка. Боковая грань BB₁C₁C является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы, если длина ломаной C₁MB равна 

 и точки C₁, M и B лежат на одной прямой.
Варианты ответов.

1)    14+21√2;

2)    28+14√2;

3)    21√3+14√2;

4)    14+21√2;

5)    21+14√2.

Решение. 

Определим, какие фигуры получились в развертке.

Так как по условию ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник (ےA=90°), обозначим AC=AB=x, тогда BC=x√2, значит B₁C₁=BC=x√2, а так как BB₁C₁C является квадратом, то и CC₁= x√2, то есть все боковые грани призмы x√2, в частности, AA₁= x√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC₁:

AB=x, AC₁=AA₁+A₁C₁=(x+x√2), BC₁ давно в условии. Связываем теоремой Пифагора: AB²+С₁A²=C₁B².

x²+( x+x√2)²=28+14√2;

2x²+x²+2x²+2√2x²=28+14√2

(4+2√2)x²=7(4+2√2)

x²=7

S_п.пов.=2S(ABC)+2S(AA₁C₁C)+S(BB₁C₁C)=2∙1/2x²+2x²√2+(x√2)²=7+2∙7√2+2∙7==21+14√2

Ответ. 5

Найти радиус окружности описанной вокруг трапеции с основаниями 6 и 8 и высотой, равной 7

Для начала разберемся, когда около трапеции можно описать окружность. Вообще говоря, около четырехугольника можно описать окружность, когда сумма противоположных углов его равна 180°. Но у трапеции в силу того, что основания параллельны, а боковая сторона (AD) является секущей и сумма углов, прилежащих к боковой стороне также равна 180°. То есть получается, что ےA+ےD=180° и ےA+ےC=180°, а значит ےD= ےC и трапеция равнобедренная. Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность!

Теперь, зная основания и высоту равнобедренной трапеции найдем ее боковые стороны. Для этого опускаем две высоты DH и CH₁ и AH=H₁B=(8-6):2=1.

По теореме Пифагора из ∆ADH боковая сторона AD=5√2.

 И вот теперь самое интересное. У нас нет формулы для нахождения радиуса описанной вокруг четырехугольника окружности! Пытаться придумать, где должен быть центр окружности – смысла особого нет, так как это не приблизит нас к ответу. И тут мы кое-что интересное заметим по рисунку. Оказывается, что окружность, описанная вокруг трапеции ABCD и окружность, описанная вокруг треугольника ABD – одна и та же!!! А для треугольника уже есть и формула R=abc/(4S) и найдено практически все. Осталось найти площадь: S=1/2AB∙DH=28 и сторону DB по теореме Пифагора из ∆BDH: DB=7√2. Подставляем в формулу:

 Ответ 5.