B9. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите сумму всех целых корней уравнения

Теория По иррациональным уравнениям однако настоятельно рекомендую разобрать вот эти Примеры

Анализ. При решении необходимо заметить, что выражения под знаком корня являются полными квадратами, далее, применяя формулы и извлекая корень из полного квадрата придем к иррациональному уравнению с модулем:

Решение

Объединяя решение получаем, что решением уравнения |t-1|+|t-2|=1 является промежуток [1; 2] или 1≤t≤2. Выполним обратную замену: 

Сумма целых значений, удовлетворяющих этому условию равна 4+5+6+7=22.

Ответ. 22

B7. Планиметрия

Задание. Точка M лежит внутри угла A равного 60° и находится на расстоянии √7 и 4√7 от его сторон. Найдите длину отрезка AM.

Решение

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, значит, треугольники AMN и AKM – прямоугольные. Вокруг каждого из них можно описать окружность, центр которой лежит на середине AM и радиусом, равным половине AM, то есть, эти окружности совпадают, а значит, около четырехугольника ANMK можно описать окружность, значит, ےA+ےM=180°, откуда ےM=120°. 

Далее по теореме косинусов из треугольника MNK находим сторону NK:
NK²=MN²+MK²-2∙MK∙MK∙cos120°.
NK²=7+16∙7-2∙√7∙4√7∙(-1/2)=7+16∙7+4∙7=7∙21=49∙3
NK=7√3.

Так как та же самая окружность описана и вокруг треугольника ANK, то по теореме синусов NK/(sinA)=2R, находим R=NK/(2sinA)=7√3/(2∙√3/2)=7.

AM является диаметром окружности, значит, d=2R=14.

Ответ. 14

B6. Показательное неравенство

Задание. Найдите сумму всех целых отрицательных чисел из области определения функции

Теория  может пригодиться рациональные неравенства

Решение

Так как функция представляет из себя корень, то ее область определения задается условием: подкоренное выражение неотрицательно:

Так как 36>1, то переходим к рациональному неравенству:

Сумма целых отрицательных решений -8+(-7)+(-6)=-21.

Ответ. -21

B5. Стереометрия

 Задание. Найдите площадь полной поверхности куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если расстояние от точки C до плоскости B₁AD₁ равно 4√3.

Решение

Для быстрого решения задачи очень важно знать формулы!!!

Фактически, в задаче нам дана высота тетраэдра CAD₁B₁, у которого все ребра равны диагоналям граней куба. Поэтому, пусть ребро куба a, тогда диагональ грани куба (ребро тетраэдра a√2). Выразим через a высоту тетраэдра

Треугольники D₁AB₁ и CAB₁ – равносторонние со стороной a√2, тогда CN как высота, биссектриса и медиана равностороннего треугольника равна (a√2√3)/2=(a√6)/2, а ON как радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности (a√2√3)/6=(a√6)/6. Далее связываем теоремой Пифагора для треугольника CON:

(4√3)²+(a√6/6)²=(a√6/2)²
48+a²/6=3a²/2
9a²/6-a²/6=48
8a²/6=48
a²=36
a=6

Значит, ребро куба равно 6, тогда площадь полной поверхности 6∙36=216

Ответ. 216

B4. Координаты точки пересечения

Задание. Найдите увеличенную в 5 раз сумму координат точек пересечения окружности x²+y²=18 и прямой x-2y-3=0.

Решение. Для нахождения точек пересечения кривых нужно записать их уравнения в систему и решить ее.

Сумма координат точек пересечения -3+(-3)+4,2+0,6=-1,2. Увеличенная в 5 раз сумма -1,2*5=-6.

Ответ. -6

B3. Текстовая задача

Задание. Строительная бригада планирует заказать кирпичи у одного из трех поставщиков. Стоимость кирпичей и их доставки указана в таблице. Найдите сумму наибольшего и наименьшего количества кирпичей, при покупке которого самыми выгодными условиями окажутся условия второго поставщика.

Поставщик	Стоимость кирпичей (руб. за 1 шт)	Стоимость доставки (руб. за весь заказ)
1	1,25	122
2	1,55	64
3	2,15	бесплатно

Решение

Пусть бригада планирует купить x кирпичей, тогда у первого поставщика заказ обойдется 1,25x+122 рублей, у второго 0 1,55x+64, а у третьего – 2,15x. Самыми выгодными условиями будут те, когда заказ будет стоить меньше, чем у других поставщиков. Составляем систему неравенств:

Так как можно купить только целое число кирпичей, то наименьшим количеством является 107 кирпичей, а наибольшим 193. Сумма 107+193=300.

Ответ. 300

B2. Прямые и плоскости

Задание. Дана треугольная пирамида SABCD. Точки K и M принадлежат ребрам SA и BC соответственно, точка N лежит на продолжении ребра SC (см. рис.) Выберите три верных утверждения.

1)    Пряма KM лежит в плоскости KMN.

2)    Прямая KN лежит в плоскости BSC.

3)    Прямая NM лежит в плоскости BSC.

4)    Прямая NM лежит в плоскости ABC.

5)    Прямая KM лежит в плоскости ASC.

6)    Прямая KN лежит в плоскости ASC.

Теория

Задание на знание аксиомы стереометрии: если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой (вся прямая) лежит в данной плоскости.

Решение

1)    Верно, так как точки K и M лежат в плоскости KMN.

2)    Не верно, так как точка K лежит на прямой AS, которая не лежит в плоскости BSC (пересекает плоскость BSC не в точке K).

3)    Верно, так как точка M лежит на прямой BC, а прямая BC лежит в плоскости BSC и точка N лежит на прямой SC, а прямая SC лежит в плоскости BSC.

4)    Не верно, так как точка N лежит на прямой SC, которая не лежит в плоскости ABC (пересекает плоскость ABC не в точке N).

5)    Не верно, так как точка M лежит на прямой BC, не лежащей в плоскости ASC (она пересекает плоскость ASC не в точке M).

6)    Верно, так как точка N лежит на прямой AS, которая содержится в плоскости ASC и точка N лежит на прямой SC, которая содержится в плоскости ASC.

Ответ. 136