A1. Числовая прямая

Задание. Найдите сумму чисел, которые на координатной прямой находятся на расстоянии 4 единицы от числа -7.
Варианты ответов.

1. -14;
2. 8;
3. -8;
4. 14;
5. 0.

Решение. Изобразим на координатной прямой число -7 и отметим два числа, которые находятся на расстоянии 4 от числа -7:

То есть числа -11 и -3 находятся на координатной прямой на расстоянии 4 единицы от числа -7. Их сумма -11+(-3)=-14

Ответ: 1.

A9. Окружность и касательная

Задание. Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AB и отрезок AO. Точки B и M принадлежат окружности (см. рисунок). Известно, что AB=20, AM:MO=1:2. Найдите длину радиуса окружности.

Варианты ответов

Решение 

1 способ.

Продлим радиус OM до пересечения с окружностью в точке C (MC – диаметр). По условию , AM:MO=1:2. Пусть , AM=x, тогда MO=2x. OC=MO=2x (как радиусы). AC=AM+MO+OC=5x.

Воспользуемся теоремой о том, что квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть AB²=AC∙AM=5x². То есть AB=x√5 По условию AB=20, значит

20=x√5

x=20/√5=4√5

радиус OM=2x=8√5

2 способ

Проведем радиус OB=MO=2x и рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (радиус перпендикулярен касательной в точке касания).

По теореме Пифагора:

AO²=AB²+OB²

(3x)²=20²+(2x)²

9x²=400+4x²

5x²=400

x²=80

x=√80=4√5

радиус OM=2x=8√5

Ответ. 2

B3 текстовая задача с переводом единиц измерения

Задание. За потребление воды заплатили 8 руб. 82 коп. Сколько литров воды израсходовали, если стоимость 1 м³ равна 84 коп.?
Теория. здесь
Анализ. Обратим внимание, что дана стоимость 1 м³, а вопрос – сколько литров. Поэтому нужно знать, что 1 литр = 1 дм³. 
Решение. Вопрос задачи в литрах, поэтому узнаем стоимость одного литра воды

1 м³ = 1∙(10 дм)³=1000 дм³

Значит, стоимость 1000 дм³ равна 84 коп., тогда стоимость 1 дм³=0,084 коп. Так как заплатили 8 руб. 82 коп. = 882 коп, то израсходовали 882:0,084=10500 дм³ или 10500 литров

Ответ: 10500

B4, система уравнений

Задание. Пусть (x₁, y₁); (x₂; y₂) – решение системы уравнений

Найдите значение выражения x₁y₂+x₂y₁ 
Анализ. Обычно при решении систем уравнений второй степени пытаются преобразовать уравнение так, чтобы максимально упростить вычисления, однако здесь оба способа (подстановки и с преобразованиями) одинаково энергозатратны
Решение

1 способ (очевидный)

2 способ (красивый)

Ответ: -13

B5. Иррациональные числа

Задание. Найдите значение выражения

Теория. здесь
Анализ.Произведем вычисления в два этапа.
Решение.

Для нахождения значения следующего выражения необходимо выделить под корнем полный квадрат

Выполняем умножение:

Ответ. -35

B6. Дробно-рациональное неравенство

Задание. Найдите сумму всех целых решений неравенства

Теория. Здесь

Анализ. Дробно-рациональное неравенство, сделаем в правой части 0, приведем к общему знаменателю, разложим на простые множители и решим методом интервалов.

Решение.

Вспомним формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

Ответ. 60

B8. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите произведение корней уравнения

 Теория. Здесь
Анализ. Иррациональное уравнение, простейшее, третьего типа.
Решение. Сразу вводим замену.

Пусть x²=t, тогда

Обратная замена:

Произведение корней -46

Ответ. -46

Второй этап репетиционного тестирования

Послезавтра состоится второй этап репетиционного тестирования, результаты которого уже можно будет рассматривать как промежуточную оценку степени готовности к самому ЦТ. Мы традиционно заканчиваем к этому времени изучение всех уравнений и неравенств и проводим большое обобщающее занятие.

После тестирования отдохнем недельку и примемся за повторение тригонометрии и текстовых задач. Очень сложный этап, поэтому собираемся с мыслями и не расслабляемся!

Решение задач второго этапа будет опубликовано немного позже. 

Найти радиус окружности описанной вокруг трапеции с основаниями 6 и 8 и высотой, равной 7

Для начала разберемся, когда около трапеции можно описать окружность. Вообще говоря, около четырехугольника можно описать окружность, когда сумма противоположных углов его равна 180°. Но у трапеции в силу того, что основания параллельны, а боковая сторона (AD) является секущей и сумма углов, прилежащих к боковой стороне также равна 180°. То есть получается, что ےA+ےD=180° и ےA+ےC=180°, а значит ےD= ےC и трапеция равнобедренная. Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность!

Теперь, зная основания и высоту равнобедренной трапеции найдем ее боковые стороны. Для этого опускаем две высоты DH и CH₁ и AH=H₁B=(8-6):2=1.

По теореме Пифагора из ∆ADH боковая сторона AD=5√2.

 И вот теперь самое интересное. У нас нет формулы для нахождения радиуса описанной вокруг четырехугольника окружности! Пытаться придумать, где должен быть центр окружности – смысла особого нет, так как это не приблизит нас к ответу. И тут мы кое-что интересное заметим по рисунку. Оказывается, что окружность, описанная вокруг трапеции ABCD и окружность, описанная вокруг треугольника ABD – одна и та же!!! А для треугольника уже есть и формула R=abc/(4S) и найдено практически все. Осталось найти площадь: S=1/2AB∙DH=28 и сторону DB по теореме Пифагора из ∆BDH: DB=7√2. Подставляем в формулу:

 Ответ 5.

Логарифмические неравенства и способы их решения

Разберем основные способы решения логарифмических неравенств

Смысл решения логарифмических неравенств состоит в том, чтобы перейти путем равносильных переходов к рациональному неравенству или их системе

      1.   Слева и справа – логарифмы с одинаковым основанием.

Тогда в зависимости от основания логарифма мы опускаем логарифмы и если основание больше 1 – оставляем знак неравенства, если основание меньше 1 но больше 0 – меняем знак неравенства. Вторым неравенством записываем условие существования меньшего из выражений, стоящих под логарифмом (уже после того, как логарифмы опустим, смотрим на какое из выражений указывает «носик» неравенства, то выражение и должно быть больше 0)

2.     С одной стороны – логарифм, а с другой число.

Не советую заучивать какие-либо схемы, советую – рассуждать. Из числа делаем логарифм по тому же основанию, что и исходный логарифм в неравенстве и дальше поступаем как в пункте 1, однако выставлять ли условие существования логарифма зависит от того, какое из выражений в неравенстве окажется наименьшим. Если наименьшее – число, то ставить условие его существования уже не нужно. (то есть, если вы «снимаете» логарифмы, не забудьте посмотреть на основание логарифма, нужно ли разворачивать знак неравенства и после этого оказывается, что «носик» неравенства смотрит на число, то записывать, что это число больше нуля – уже не нужно).

3.     С применением свойств логарифма.

Если применяем какое-либо свойство логарифма, то обязательно выставляем условие существования этого (этих) логарифма. Далее действуем как в пунктах 1 или 2, но при переходе от логарифмического уравнения к системе рациональных условие существования меньшего логарифма уже выставлять не нужно, так как он и так существует, ведь мы уже ранее выставили это условие

 4.     Метод интервалов.

Если из условия понятно, что при переносе в левую часть всех элементов неравенства, она легко разложится на множители (либо уже разложена на множители или представляет собой дробь), целесообразно применить метод интервалов

 5.     Замена

С заменой в неравенствах советую быть особо аккуратными и вводить ее только для того, чтобы разложить на множители, а дальше выполнить обратную замену и решать методом интервалов (как в пункте 4)

 6.     Графический

Иногда бывает, что все попытки решить неравенство аналитическими способами не дают должного результата, однако функции, представленные в неравенстве не являются тяжелыми для построения. Тогда есть смысл попробовать их изобразить и по рисунку понять, какая из функций на каком промежутке больше. (не забудем про ОДЗ). Теория по движению графиков

Должны получится следующие графики:

Асимптота x=1/3

Так как одна функция является возрастающей, а другая – убывающей, то никаких других точек пересечения у них нет. Логарифмическая функция ниже (меньше, о чем спрашивали в неравенстве) чем линейная при
 x є (-1; 1/3) – не забудьте ОДЗ!

Точка пересечения – (-1; 2) – проверьте путем подстановки в обе функции. Они обе через нее проходят.

Ознакомьтесь с решениями тестовых заданий, предложенных на репетиционном тестировании:

B6, РТ-2018 (2 этап)

B7, РТ-2018 (3 этап)

В7, РТ-2019 (3 этап)