A14. Теорема Виета

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями уравнения x²-9x+7=0. Найдите площадь круга, ограниченного описанной около этого треугольника окружностью.

Варианты ответов:

1)    95π/4;

2)    67π/4;

3)    67π/2;

4)    67π;

5)    √67π.

Теория теорема Виета и про выделение полного квадрата

S=πR², где R – радиус окружности, ограничивающей круг. Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.

Решение.

Таким образом, задача свелась к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами x₁ и x₂. Применяя теорему Виета, получаем x₁+x₂=9, x₁∙x₂=7. Далее по теореме Пифагора:

c²=x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=9²-2∙7=81-14=67, откуда c=√67, то есть R=√67/2

S=πR²=π∙(67/4)= 67π/4

Ответ. 2

A10. Теорема Виета

Задание. Корни x₁ и x₂ уравнения x²-21x+q=0 относятся как 4:3. Найдите сумму большего корня и числа q.

Варианты ответов:

1)    129;

2)    199;

3)    147;

4)    96;

5)    120.

Теория   Тут

Решение

Так как по условию, корни относятся друг к другу как 4:3, то введем коэффициент пропорциональности k, тогда x₁=4k; x₂=3k. По теореме Виета
x₁+x₂=21;
4k+3k=21;
7k=21;
k=3
Значит, x₁=4∙3=12; x₂=3∙3=9. Больший корень равен 12. Также по теореме Виета x₁∙x₂=q, поэтому q=12∙9=108.

Сумма числа q и большего корня равна 108+12=120.

Ответ. 5

Теорема Виета

 Уравнение вида ax²+bx+c=0 , где a≠0 и x – неизвестная величина называется квадратным уравнением. Если a=1, то уравнение называется приведенным квадратным уравнением.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна его второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.

Теорема, обратная теореме Виета. Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁₊x₂=-p а x_1・x₂=q, то они являются корнями квадратного уравнения x²+px+q=0.

Примеры задач по теме из РТ:
А8 (РТ-19, 1 этап)
А15 (РТ-19, 2 этап)
А15 (РТ-19, 3 этап)
А10 (РТ-20, 1 этап)
А14 (РТ-20, 2 этап)

A15. Теорема Виета.

Задание. Корни x₁ и x₂ уравнения x²+px+q=0 удовлетворяют условиям: x₁+x₂=3, x₁²+x₂²=5. Найдите произведение чисел p и q.

Варианты ответов.

1. -3;
2. 6;
3. 5;
4. -15;
5. -6.

Анализ. Так как коэффициент перед x² (старший) равен 1, то квадратное уравнение приведенное и можно воспользоваться теоремой Виета для приведенного квадратоного уравнения (а не обобщенной).

Теория. Теорема Виета для приведенного (x²+px+q=0) квадратного уравнения: сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, в произведение корней – свободному члену.

Решение. 

Получаем, что x₁+x₂=-p, а так как x₁+x₂=3, то p=-3.

Далее по условию x₁²+x₂²=5.

Выделяем полный квадрат (подробнее о выделении полного квадрата): x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ =
3²-2x₁x₂=9-2x₁x₂=5

9-2x₁x₂=5

-2x₁x₂=5-9

-2x₁x₂=-4

2x₁x₂=4

x₁x₂=2

Значит, произведение корней равно 2, то есть свободный член (q) равен 2.

 Получаем, p=-3, q=2. p∙q=-3∙2=-6.

Ответ. 5

A15. Теорема Виета

Задание. Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения 0,1x²-1,5x+0,5=0. Найдите значение выражения 

Варианты ответов.

1. 2/3;
2. -2/3;
3. 6;
4. -6;
5. 1/3

Теория. Обобщенная теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 равна –b/a, в произведение корней c/a.

Анализ. Вообще, в средней школе изучаются только действительные числа и пользоваться обобщенной теоремой Виета можно только после того, как убедились, что дискриминант квадратного уравнения положительный (в случае, когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет два одинаковых корня и применение этой теоремы не всегда корректно, исходя из задания, учтена ли там кратность корней). Однако в нашем случае, можно не проверять, положителен ли дискриминант, так как в самом условии утверждается, что x₁ и x₂ – корни уравнения 0,1x²-1,5x+0,5=0. Мы понимаем это, как то, что корни (действительные) у уравнения существуют.

Решение. Применяем обобщенную теорему Виета: 

Ответ. 5

A8. Теорема Виета

Задание. Найдите произведение корней уравнения

Варианты ответов.

1. 4,7;
2. 4,4;
3. -4,7;
4. -4,4;
5. -4,23.

Теория. Теорема Виета: Если в квадратном уравнении D>0, то

Решение. В данном уравнении

Значение дискриминанта можно не находить, так как, очевидно, он больше нуля. Применяем теорему Виета:

Произведение корней уравнения равно -14,1/3=-4,7.

Ответ. 3