B5. Тригонометрическое уравнение

 Задание. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный и наименьший положительный корни уравнения sin 9x∙cos 9°+cos 9x∙sin 9°=-1. В ответ запишите их произведение.

Решение

При n=0, x=-11 – наибольший отрицательный

При n=1, x=-11+40=29 – наименьший положительный

Произведение: -11∙29=-319

Ответ. -319

B2. Обратные тригонометрические функции

 Задание. Выберите три верных неравенства

Теория

Решение

Ответ 245

A15. Тригонометрические преобразования

Задание. Вычислите sin 2β, если sin β + cos β = 7/13.

Варианты ответов:

1)    120/169;

2)    12/13;

3)    144/169;

4)    -120/169;

5)    -49/169.

Решение.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

(sin β + cos β)² = (7/13)²
sin² β + cos² β + 2 sin β cos β = 49/169
1+sin 2β = 49/169
sin 2β = 49/169 – 1
sin 2β = -120/169

Ответ. 4

A2. Углы на единичной окружности

Задание. Укажите номера углов, которые оканчиваются во второй четверти: 

1) 528°;   2) 362°;   3) 43°;   4) 725°;   5) 154°

Варианты ответов

1)    1, 2;

2)    2, 4;

3)    3, 4;

4)    1, 5;

5)    3, 5.

Анализ.

Углы, больше, чем 90°, но меньше чем 180° оканчиваются во второй четверти. Если угол выходит за пределы первой окружности, то представляем его в виде α=360°∙n+β, затем отбрасываем 360°∙n и на единичной окружности изображения углов α и β будут совпадать.

Решение

1)    528°=360°∙1+168° - угол II четверти

2)    362°=360°∙1+2° - угол I четверти

3)    43° - угол I четверти

4)    725°=360°∙2+5° - угол I четверти

5)    154° - угол II четверти

Ответ: 4

A19. Тригонометрическое уравнение

Задание. Найдите сумму (в градусах) наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения

Варианты ответов:

1)    15;

2)    45;

3)    70;

4)    60;

5)    20.

Теория

sin α∙cos β-cos α∙sin β=sin(α-β)

Решение

При n=0, x=70° – наименьший положительный корень

При n=-1, x=70°-120°=-50° – наибольший отрицательный корень.

Их сумма 70°+(-50°)=20°

Ответ. 5

A7. Таблица тригонометрических функций, формулы приведения.

Задание. Укажите номер верного утверждения:

1)    cos 30°=sin 60°;

2)    cos 60°=cos 120°;

3)    tg (3π/4)=1;

4)    ctg (4π/3)=-√3/3;

5)    sin 30°=-sin 150°.

Анализ

Задание на знание таблицы тригонометрических функций для некоторых углов и формул приведения. Однако, знание хотя бы таблицы уже позволило бы решить это задание верно, так как cos 30°=sin 60°=1/2, а за счет того, что в математике только один верный ответ, можем смело указывать в ответе 1.

Действительно, (2) не верно, так как 60° - угол I четверти, а 120° - II четверти, знаки косинусов там разные, то есть равенство (2) быть верным не может. Для (3) не верно, так как 3π/4 – угол II четверти, где значения тангенса отрицательны. Аналогично, для (4): угол 4π/3 – III четверти, где значения котангенса положительны. Для (5): угол 30° находится в I четверти, а угол 150° - во II. В обеих этих четвертях синусы положительны и не равны 0, а значит, значения синусов этих углов не могут быть противоположны.

Ответ 1.

A13. Формулы тригонометрии

Задание. Значение выражения  равно:

Варианты ответов:

1)    √3;

2)    -1;

3)    1;

4)    -√3;

5)    √3/3.

Анализ. Замечаем, что 

 и вспоминаем формулы приведения, а также еще некоторые формулы.

Теория:

Решение

Ответ. 3