A11. Проценты

Задание. На круговой диаграмме показано распределение посевных площадей под овощные культуры в агрохозяйстве. На сколько процентов площадь, отведенная под свеклу, меньше площади, отведенной под капусту?

Варианты ответов

1)    22,5%

2)    4,5%

3)    77,5%

4)    15,5%

5)    31,5%

Анализ

Будем очень внимательны при ответе на вопрос задачи, при решении каждый раз обращаем внимание на то, процент от какой величины мы рассматриваем.

Решение

Итак, по рисунку понятно, что кукуруза составляет 22,5% всех посевных площадей, картофель – 35% всех посевных площадей, лук – 7% всех площадей, капуста – 20% всех площадей, и т.к. оставшаяся культура – свекла, а вся посевная площадь в данном случае принимается за целое, то есть 100%, находим площадь, отведенную под свеклу как 100%-(22,5%+35%+7%+20%)=15,5%. ОТ ВСЕХ ПОСЕВНЫХ ПЛОЩАДЕЙ. Если все посевные площади обозначить за x (квадратных единиц), то очевидно, что кукуруза будет занимать 0,22x, картофель – 0,35x, лук – 0,7x, капуста – 0,2x, а свекла 0,155x. То есть свекла занимает площадь на 0,2x-0,155x=0,045x квадратных единиц меньше, чем капуста.

Теперь ответим на вопрос задачи: На сколько процентов площадь, отведенная под свеклу, меньше площади, отведенной под капусту? В данном случае, мы будем сравнивать площади с площадью, отведенную под капусту, то есть уже ее мы принимаем за 100%. Таким образом, нам необходимо узнать, сколько в процентах составляет разница, равная 0,045x от площади, отведенной под капусту, если за 100% принимается величина 0,2x

Составляем и решаем пропорцию:

Ответ. 1

 

Задачи на смеси и сплавы

 Продолжаем изучение задач на проценты и обращаемся к задачам на смеси и сплавы.

Без кучи ненужной теории предлагаю вам просмотреть видео, на котором я объясняю подход к решению таких задач.

Для закрепления темы предлагаю решить несколько задач самостоятельно:

1. Из 400 г 12%-го раствора выпарили некоторое количество воды и получили 16%-й раствор. Какое количество воды выпарили?

 2. Сколько граммов 3%-го и сколько граммов 8%-го растворов соли нужно взять, чтобы получилось 260 г 5%-го раствора?

3. Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем их продала на общую сумму 7680 р, получив при этом 28% прибыли. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций, если при продажи первого пакета прибыль составила 40%, а при продаже второго—20%?

 Задачи по данной теме из ЦТ

B10, ЦТ19 (этап 1)

А теперь задача хорошего уровня, для тех, кто хочет потренироваться!

 Из бутыли с 12%-м раствором соли отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще 1 л и опять долили водой. В бутыли оказался 3%-й раствор соли. Какова вместимость бутыли?

 

B3. Текстовая задача на проценты

Задание. В двух коробках 72 конфеты. Если из первой переложить во вторую 15 конфет, то в первой коробке их останется в три раза меньше, чем станет во второй. На сколько процентов p конфет было меньше в первой коробке, чем во второй первоначально? В ответ запишите значение выражения 13p.

Анализ. Задача с несколькими неизвестными величинами – будем вводить переменную. Аккуратно с ответом на вопрос задачи: после того, как найдем первоначальное количество конфет в каждой коробке, за 100% принимаем количество конфет во второй коробке, так как сравниваюти менно с ней.

Решение

Пусть в первой колобке было x конфет, тогда во второй 72-x. Внесем данные в таблицу:

	Было	Переложили	Стало
I	x	-15	x-15
II	72-x	+15	72-x+15

Зная, что в первой коробке их останется в три раза меньше, чем станет во второй, то есть выражение (x-15) меньше, чем (72-x+15) в 3 раза, составляем уравнение:

3(x-15)=(72-x+15)
3x-45=87+x
3x+x=87+45
4x=132
x=33

Значит, в первой коробке было 33 конфет, а во второй 72-33=39. В первой короке изначально было на 6 конфет меньше, чем во второй, что составляет 6/39∙100%=2/13∙100%, значит, p=2/13∙100%, тогда 13p=200.

Ответ. 200

B11. Текстовая задача на проценты

Задание. В питомнике растут только ели и сосны. Ели составляют 45% всех деревьев в питомнике. Для реализации вырубили и вывезли некоторое количество елей. Теперь ели составляют 12% всех оставшихся деревьев. Определите, сколько процентов p составляют увезенные ели от елей, которые росли в питомнике первоначально. В ответ запишите значение выражения 6p.

Решение.

Пусть в питомнике росло x деревьев, тогда елей было 0,45x. Пусть для реализации вывезли y сосен. Составим таблицу:

 Зная, что теперь ели составляют 12% от всех деревьев, составим уравнение:

0,12(x-y)=0,45x-y.

При решении учтем, что нужно найти сколько процентов составляют увезенные ели от елей, которые росли в питомнике, то есть p=(y/(0,45x))∙100%. То есть при решении уравнения нужно выразить величину y/x.

0,12x-0,12y=0,45x-y  |:x

0,12-0,12y/x=0,45-y/x

y/x-0,12y/x=0,45-0,12

0,88y/x=0,33

y/x=3/8

Ответ. 500

A14. Составление выражения, проценты

Задание. На клетчатой бумаге с клетками размером a см x a см изображена фигура. Известно, что площадь этой фигуры составляет 25% площади некоторой трапеции. Составьте выражение для нахождения площади трапеции в квадратных сантиметрах. 

 Варианты ответов.

1)    85a² см²;

2)    425a² см²;

3)    4,25a² см²;

4)    68a² см²;

5)    25a² см².

Решение.

Так как размер клетки a см x a см, то площадь одной клетки a²см², Площадь изображенной фигуры (считаем клетки) 17 клеток, то есть 17a²см². По условию площадь этой фигуры составляет 25% площади некоторой трапеции, значит, если принять площадь трапеции за 100% (так как то, с чем сравнивают, всегда принимаем за 100%), получим:

Составляем пропорцию и выражаем из нее x:

Ответ. 4

B10. Задача на смеси и сплавы

Задание. Имеется 36 кг сплава меди и цинка, содержащего 45% меди. Сколько грамм меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы после переплавки новый сплав содержал 60% меди.
Теория. Задачи на смеси и сплавы

Анализ. Будем внимательны, так как в задании масса измеряется в килограммах, а вопрос задачи сформулирован в граммах.

Решение

Так как сплав содержит 45% меди, значит он содержит 36*0,45=16,2 кг меди и 36-16,2=19,8 кг цинка. Пусть к этому сплаву необходимо добавить x кг (потом переведем в граммы) меди, значит, масса меди будет 16,2+x кг, масса сплава станет 36+x кг (за счет добавления меди) и меди будет содержаться 60%, то есть

Значит, необходимо добавить 13,5 кг меди. В задаче спрашивали массу меди в граммах, значит, переводим 13,5 кг=13500 г

Ответ. 13500

В3, текстовая задача на проценты

Задание. Для последующей продажи фирма закупила 390 игрушек по одинаковой цене. Когда на складе осталось 140 игрушек, оказалось, что выручка от продажи равна сумме, затраченной на покупку всего товара. На сколько процентов цена проданной игрушки больше ее закупочной цены, если игрушки продавали по одной и той же цене.

Теория. Для того, чтобы узнать, сколько процентов составляет число a от числа b, надо разделить a на b и умножить на 100%. Чтобы узнать, на сколько процентов  число m больше (меньше) числа n, нужно число n принять за 100%, найти сколько процентов составляет число m от числа n и найти разность процентов.

Анализ. В задаче не спрашивают, какова цена каждой игрушки, поэтому нет необходимости это находить. Нужно лишь описать всю задачу, приняв за переменную (или несколько переменных) неизвестные величины в задаче.

Решение. Пусть закупочная цена x рублей за штуку, тогда вся закупочная стоимость составила 390x рублей. Пусть продавали игрушки по цене y рублей за штуку, тогда к моменту, когда на складе осталось 140 игрушек, было продано 390-140=250 игрушек и общая стоимость этих игрушек составила 250y рублей. Из условия задачи величины 390x и 250y равны. В задаче спрашивается, на сколько процентов цена проданной игрушки больше ее закупочной цены, то есть если принять закупочную цену за 100%, необходимо узнать сколько процентов составляет цена игрушки, по которой ее продавали в магазине, от закупочной цены, то есть сколько процентов y составляет от x. Находим это: 

 И тогда для ответа на вопрос задачи необходимо будет найти значение выражения.

Уравнение получаем из условия 390x=250y. Так как нам не нужно искать значения x и y, а нас интересует значение выражения y/x, разделим обе части уравнения на x, получаем:

 Отвечаем на вопрос задачи:

Ответ: 56