B9. Стереометрия

Задание. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб. Найдите значение выражения S², где S – площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 3 и √7.
Решение.

Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм (по условию – ромб), а боковые грани являются прямоугольниками. S_бок=P_осн∙h, где h – высота параллелепипеда. Диагональными сечениями являются прямоугольники, одна сторона которых является диагональю основания, а другая – высотой (h).

Рассмотрим рисунок основания. ABCD – ромб, лежащий в основании параллелепипеда. AC = √7/h; BD = 3/h. (следует из площадей диагональных сечений). Пусть диагонали пересекаются в точке O, тогда рассмотрим треугольник BOC, у него BO=BD/2=3/2h; CO=AC/2=√7/2h, по теореме Пифагора находим гипотенузу:BC = √(9/4h²+7/4h²)=√4/h²=2/h. Значит, периметр основания 4∙2/h =8/h. Тогда S_бок=P_осн∙h=8/h∙h=8

S²=64

Ответ. 64

B6. Подобие

Задание. ABCD – параллелограмм, точка K лежит между точками A и D так, что AK:KD = 5:3. Отрезки BK и AC пересекаются в точке T. Найдите длину диагонали AC параллелограмма ABCD, если TC = 32. 

Решение. Из определения параллелограмма следует, что AD║BC. Если рассматривать AD║BC и секущую BK, то ےBKA= ےCBD как накрест лежащие.

Треугольники ATK и CTB подобны по двум углам. (ےKTA= ےBTC равны как вертикальные). Найдем коэффициент подобия: по условию AK:KD = 5:3, поэтому если принять коэффициент пропорциональности за x, то AK=5x, KD=3x, BC=AD=8x.

Из подобия треугольников следует

BC:AK = CT:AT. Подставляем: 8x:5x = 32:AT, значит, AT = (32∙5)/8 = 20. 

AC = AT + TC = 20+32 = 52

Ответ. 52

B4. Формулы тригонометрии

Задание. Найдите значение выражения 63∙sin² (a-b), если sin a = √6/6; cos b = √30/6; 0<a<π/2; 3π/2<b<2π.

Теория. sin (a-b)= sin a∙cos b – cos a∙sin b

Анализ. Будем понимать, что sin² (a-b) = (sin (a-b))² 

Также особе внимание на знаки, так как в условии неспроста даны четверти - возможно, где-то нужно будет поставить модуль и не забыть его правильно раскрыть!

Решение. Из основного тригонометрического тождества sin² a+ cos² a = 1 находим:

cos² a= 1 - sin² a = 1 – 6/36 = 30/36 ↔ |cos a| = √30/6, с учетом 0<a<π/2, угол a находится в первой четверти, где cos a>0, значит cos a=√30/6

sin² b= 1 - cos² b = 1 – 30/36 = 6/36 ↔ |sin b| = √6/6, с учетом 3π/2<b<2π, угол b находится в четвертой четверти, где sin b <0, значит sin b =-√6/6

sin² (a-b) = (sin (a-b))² = (sin a∙cos b – cos a∙sin b)²=

(√6/6∙√30/6 - (-√6/6)∙√30/6)²=(2√180/36)²=(√180/18)²=180/324=10/18=5/9

63∙5/9=7∙5=35

Ответ. 35

B2. Тригонометрическая функция (y=tg x )

Задание.

Выберите утверждения, которые являются свойствами функции, заданной формулой y=tg x на множестве действительных чисел, x≠π/2+πn, nєZ.

1)    Множество (область) значений функции – множество R;

2)    2π – наименьший положительный период функции;

3)    Функция является четной;

4)    Нулями функции являются значения аргумента x=π/2+πn, nєZ;

5)    График функции пересекает ось Oy в точке (0; 0);

6)    Функция возрастает на каждом из промежутков (-π/2+πn; π/2+πn), nєZ.

      Теория. Определять все свойства будем по графику. Для этого нужно изучить свойства функции

      Анализ. График функции y=tg x на множестве действительных чисел, x≠π/2+πn, nєZ выглядит так

      Решение.

Проверим ее свойства:

1)    Верно, так как функция не ограничена и принимает все значения (смотреть по оси Oy).

2)    Не верно, так как график полностью повторяется через π (расстояние между одинаковыми точками графика по оси Ox равно π) – это и будет наименьший положительный период (2π – так же период, но не наименьший).

3)    Не верно, график не симметричен относительно оси Oy (график симметричен относительно начала координат, значит функция является нечетной).

4)    Не верно. Посмотрите в условие: эти точки вообще не входят в область определения. (Нулями являются точки x=πn, nєZ)

5)    Верно (см по графику).

6)    Верно (см по графику). 

      Ответ. 156

B1. Квадратичная функция.

Задание.  Для начала каждого из предложений А – В подберите его окончание 1 – 6 так, чтобы получилось верное утверждение.

Ответ запишите в виде сочетания букв и цифр, соблюдая алфавитный порядок букв левого столбца. Помните, что некоторые данные правого столбца могут использоваться несколько раз или не использоваться вообще. Например, А1Б1В4.

Теория. Свойства графика квадратичной функции

Анализ. При решении необходимо искать расстояние между точками. Для нахождения расстояние в декартовых координатах между двумя точками строим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат и расстояние между точками находим как гипотенузу.

Рассмотрим каждую из парабол отдельно и найдем необходимые расстояния.

Решение.

А. Так как график функции y=(x-1)²+3 получен из графика функции

y=x² путем сдвига вправо на 1 ед и вверх на 3 ед, то координаты вершины параболы (1; 3) (можно просто в формуле, задающей параболу y=(x-1)²+3 раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и найти координаты вершины по формуле x_в=-b/2a, для нахождения y_в подставить полученное значение x_в в исходную функцию.

Для нахождения точки пересечения графика с осью ординат находим

y(0) = (0-1)²+3=4, так как точка пересечения графика с осью ординат всегда имеет абсциссу равную 0. То есть получаем точку (0; 4).

Б. Так как график функции y=(x+6)²-36 получен из графика функции
y=x² путем сдвига влево на 6 ед и вниз на 36 ед, то координаты вершины параболы (-6; -36).

Для нахождения точек пересечения графика с осью абсцисс находим 

0=(x+6)²-36 ↔x=0 или x=-12, так как точка пересечения графика с осью абсцисс всегда имеет ординату равную 0. То есть получаем точки (0; 0) и (-12; 0). Расстояние до обеих точек от вершины одинаково, находим любое из них (можно найти оба и убедиться, что расстояние действительно одинаково):

В. Для нахождения точки пересечения графика y=x²+x-6 с осью ординат находим 

y(0) = 0²+0-6=-6, то есть получаем точку (0; -6).

Для нахождения точек пересечения графика с осью абсцисс находим 

0 = x²+x-6  ↔x=-3 или x=2, то есть получаем точки (-3; 0) и (2; 0).

Расстояние между точками (0; -6) и (-3; 0)

Расстояние между точками (0; -6) и (2; 0)

Расстояние между точками (-3; 0) и (2; 0) равно 5, так как точки лежат на одной прямой, параллельной оси (на оси абсцисс).

Наименьшее из расстояний 3√5 (√45), 2√10 (√40) и 5(√25) равно 5.

Ответ. А6Б4В1

A18. Сечение

Задание. ABCA₁B₁C₁ – правильная треугольная призма, все ребра которой равны 12. Точки P и K – середины ребер B₁C₁ и AA₁ соответственно, MєA₁B₁, 
B₁M:MA₁ = 2:1. Найдите периметр сечения плоскостью, проходящей через Точки K, M и P.
Варианты ответов.








Решение.

Построим сечение

B₁M:MA₁ = 2:1, B₁A₁=12, значит B₁M=8, MA₁=4

Соединяем точки P и M, лежащие в плоскости A₁B₁C_1, так же точки M и K, лежащие в плоскости AA₁B₁, продляем прямую MK до пересечения с прямой AB. Х – их точка пересечения. ∆A₁MK=∆AXK по катету и острому углу (углы равны как вертикальные), значит AX=A₁M=6, значит BX=16. Теперь через точку X проводим прямую, параллельную прямой MP, так как плоскости ABC и A₁B₁C₁ параллельны, а значит и прямые их пересечения с плоскостью сечения параллельны между собой. Пусть эта прямая пересечет прямую BC в некоторой точке Y. Треугольники MPB₁ и XYB подобны (по двум углам) с коэффициентом подобия B₁M:BX=8/16=1/2, а значит PB₁:BY=1/2, BY=2∙PB₁=12, то есть точка Y совпадает с точкой C.

Соединяем точки C и K в плоскости ACC₁ и точки C и P в плоскости BCC₁ и получаем сечение CKMP.

Находим его периметр.

Ответ. 1

A17. Линейное двойное неравенство

Задание. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства -143,9<1,7+7x<18,5.

Варианты ответов

1. -19;
2. -22;
3. -23;
4. -17;
5. -18.

Теория Рациональные неравенства

Анализ. При нахождении наименьшего и наибольшего целых решений будем внимательны, так как часто бывают ошибки именно в записи ответа (выборе этих решений). Чтобы не допустить этих ошибок я настоятельно рекомендую нанести решения на числовую ось и заключить концы интервала-решения в целые числа, то есть слева и справа от конца интервала выставить целые числа и потом выбрать, какой из них входит в решение

Решение.
Можно разбить данное неравенство на систему линейных неравенств

Далее решить каждое неравенство отдельно, решения нанести на общую числовую прямую и выбрать их пересечение (что я рекомендую делать тем, кто не уверен, можно ли решать по-другому). 

Я же решу данное неравенство, работая с тремя его частями одновременно:

Изобразим решение на прямой:

Теперь очевидно, что наименьшее целое решение: -20, а наибольшее целое: 2

Их сумма -20+2=-18

Ответ. 5.

A16. Угол между прямой и плоскостью.

Задание. 

Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды SABC равна 16, а радиус окружности, вписанной в основание ABC, равен 2√3. Найдите косинус угла между боковым ребром SA и плоскостью ABC.

Варианты ответов.

1. √3/4;
2. √5/6;
3. √3/2;
4. √13/4;
5. √165/55.

Теория. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 

Анализ. Для построения угла опустим высоту пирамиды SO (SO – перпендикуляр на плоскость ABC, значит, AO – проекция прямой SA на плоскость ABC, угол между SA и плоскостью ABC – угол SAO.

Решение. 

 Для нахождения его косинуса необходимо знать длины SO и SA=16 (по условию), OA – радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности. В условии дан радиус вписанной окружности, поэтому либо мы помним, что радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной в этот же треугольник окружности, либо воспользуемся формулами

Ответ. 1

A15. Тригонометрические уравнения

Задание. Укажите номера уравнений, которые не имеют решений.

Варианты ответов.

1. 4, 5;
2. 1, 2;
3. 1, 4;
4. 1, 3;
5. 2, 4.

Теория. . Уравнения tg x=a и ctg x=a имеют решения при любом a. Уравнения cos x=a и sin x=a имеют решения только при |a|≤1.

Анализ. Выясним, чему равен arctg √3. Табличное значение, arctg √3=π/3 (π≈3,14)
Решение.

1 и 4 уравнения не имеют корней, так как уравнения cos x=a и sin x=a имеют решения только при |a|≤1, а 4/3>1 и π/3>1 (3,14/3>1). Остальные уравнения имеют корни.

Ответ. 3

A14. Составление выражения для определения площади

Задание. На рисунке изображен квадрат со стороной, равной 1. Составьте выражение для определения площади заштрихованной части квадрата, если AO=BO=CO=DO=x. 
Варианты ответов.












Анализ. Заштрихованная часть получилась после того, как квадрат разбили диагоналями на 4 треугольника, а потом из этих треугольников "вырезали" маленькие треугольники.
Решение. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. Он разбит на 4 равных треугольника, площадь каждого ¼, значит площадь трех треугольников ¾. Из этих треугольников «вырезали» три равных прямоугольных (так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом) равнобедренных треугольника с катетами x (по условию). Площадь каждого треугольника S=1/2∙x² . Площадь трех таких треугольников 3/2∙x² .Значит, площадь заштрихованной фигуры
¾-3/2 x²
Ответ. 1.