B9. Стереометрия

Задание. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб. Найдите значение выражения S², где S – площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 3 и √7.
Решение.

Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм (по условию – ромб), а боковые грани являются прямоугольниками. S_бок=P_осн∙h, где h – высота параллелепипеда. Диагональными сечениями являются прямоугольники, одна сторона которых является диагональю основания, а другая – высотой (h).

Рассмотрим рисунок основания. ABCD – ромб, лежащий в основании параллелепипеда. AC = √7/h; BD = 3/h. (следует из площадей диагональных сечений). Пусть диагонали пересекаются в точке O, тогда рассмотрим треугольник BOC, у него BO=BD/2=3/2h; CO=AC/2=√7/2h, по теореме Пифагора находим гипотенузу:BC = √(9/4h²+7/4h²)=√4/h²=2/h. Значит, периметр основания 4∙2/h =8/h. Тогда S_бок=P_осн∙h=8/h∙h=8

S²=64

Ответ. 64