B6. Подобие

Задание. ABCD – параллелограмм, точка K лежит между точками A и D так, что AK:KD = 5:3. Отрезки BK и AC пересекаются в точке T. Найдите длину диагонали AC параллелограмма ABCD, если TC = 32. 

Решение. Из определения параллелограмма следует, что AD║BC. Если рассматривать AD║BC и секущую BK, то ےBKA= ےCBD как накрест лежащие.

Треугольники ATK и CTB подобны по двум углам. (ےKTA= ےBTC равны как вертикальные). Найдем коэффициент подобия: по условию AK:KD = 5:3, поэтому если принять коэффициент пропорциональности за x, то AK=5x, KD=3x, BC=AD=8x.

Из подобия треугольников следует

BC:AK = CT:AT. Подставляем: 8x:5x = 32:AT, значит, AT = (32∙5)/8 = 20. 

AC = AT + TC = 20+32 = 52

Ответ. 52