A16. Угол между прямой и плоскостью.

Задание. 

Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды SABC равна 16, а радиус окружности, вписанной в основание ABC, равен 2√3. Найдите косинус угла между боковым ребром SA и плоскостью ABC.

Варианты ответов.

1. √3/4;
2. √5/6;
3. √3/2;
4. √13/4;
5. √165/55.

Теория. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 

Анализ. Для построения угла опустим высоту пирамиды SO (SO – перпендикуляр на плоскость ABC, значит, AO – проекция прямой SA на плоскость ABC, угол между SA и плоскостью ABC – угол SAO.

Решение. 

 Для нахождения его косинуса необходимо знать длины SO и SA=16 (по условию), OA – радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности. В условии дан радиус вписанной окружности, поэтому либо мы помним, что радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной в этот же треугольник окружности, либо воспользуемся формулами

Ответ. 1