A15. Уравнения

Задание. Среди данных утверждений укажите номера верных

1)    Уравнение 2^x=3 не имеет корней.

2)    Корни уравнения 3x²-10x+3=0 являются взаимно обратными числами.

3)    Уравнения x²=9 и |x|=3 равносильны.

4)    Числа 3 и -3 являются корнями уравнения √(x²-5)=4.

5)    Любое действительное число является корнем уравнения x²+4=0.

Варианты ответов:

1)    2, 3;

2)    2, 5;

3)    3, 4;

4)    1, 4;

5)    1, 5.

Теория.

Решить уравнение – это найти все его корни или доказать, что их нет. Корнем уравнения называется такое число, которое при подстановке в уравнение вместо переменной, обратит его в верное числовое равенство. Равносильные уравнения – это такие уравнения, корни которых совпадают. Взаимно обратные числа – это два числа, произведение которых равно 1.

Решение.

1)    Данное уравнение имеет решение x=log₂ 3 – не верно.

2)    Данное уравнение имеет два корня (D>0) произведение которых по теореме Виета равно 1. Верно.

3)    Уравнения x²=9 и |x|=3 равносильны, так как множества их решений {-3; 3} совпадают. Верно

4)    При подстановки чисел 3 и -3 в уравнение они обратят его в неверное числовое равенство: 2=4, значит они не являются корнями уравнения. Не верно.

5)    Не верно, так как, если к примеру, подставить в уравнение вместо переменной число 0, то оно обратит его в неверное числовое равенство (4=0), а значит, не является корнем уравнения, то есть не любое действительное число является корнем уравнения. Не верно.

Ответ. 1

А15, уравнения

Задание

Решение.

1. Не верно, так как это числовое равенство (в уравнении есть переменная x)

2. Не верно. При подстановке вместо x числа 3 получим верное числовое равенство (24:6=4), значит число 3 является корнем уравнения.

3. Не верно. При подстановке вместо x числа -2 получим неверное числовое равенство 

(-4・3=0), значит -2 не является корнем уравнения.

4. Не верно. 

5. Верно. Оба уравнения не имеют решений (значение косинуса по модулю не превосходит 1, а у нас случай cos x = 1,57, так как ㄫ≈3,14 и значение модуля - число неотрицательное, а у нас |x|=-1). Так как множества решений данных уравнений совпадают, они являются равносильными).

Ответ. 5

A15, дробно-рациональное уравнение, логарифмическое уравнение.

Задание.

Теория. Уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Анализ. Для решения данного задания необходимо решить оба уравнения и убедиться, что множества их ответов совпадают. Ни в коем случае нельзя решить одно уравнение и подставить полученные ответы в остальные, потому что так можно совершить ошибку и указать в ответе уравнение-следствие, а не равносильные.

Решение. Решим первое уравнение, воспользовавшись основным свойством пропорции:

Далее нам предстоит выбрать логарифмическое уравнение, которое имеет так же один корень, равный 49. Все эти уравнения решаются по определению логарифма: 

Получаем, что четвертое уравнение равносильно данному.

 Ответ. 4