A8. Текстовая задача (на делимость)

Задание. На склад привезли два вида коробок для хранения овощей, причем количество одного вида в 6 раз больше, чем другого. Среди чисел 117, 133, 69, 87, 103 выберите то, которое может выражать количество коробок, привезенных на склад.

Варианты ответов:

1)    117;

2)    133;

3)    69;

4)    87;

5)    103.

Решение

Пусть x – количество коробок второго вида, тогда коробок первого вида в 6 раз больше, значит, 6x. Всего привезли коробок 6x+x=7x, а значит число, выражающее общее количество коробок, должно быть кратно 7 (делится на 7 без остатка). Среди предложенных чисел только число 133 делится на 7 без остатка.

Ответ. 2

А1. Отношение делимости (четность/нечетность)

Задание Среди данных чисел укажите номера четных, если известно, что число b – нечетное.

1)    b+16;

2)    2b;

3)    b+121

4)    b+64

5)    b+144

Варианты ответов:

1)    1 и 5;

2)    2 и 4;

3)    3 и 5;

4)    2 и 3;

5)    1 и 4.

Теория Число называется четным, если оно кратно 2 (делится на 2 без остатка). Четное число в общем виде можно записать как 2n, где n – целое число, тогда число, записанное в виде 2n+1 является нечетным, так как при делении на 2 даст остаток 1. Поскольку остаток от деления всегда меньше делителя, а мы рассматриваем числа в отношении делимости на 2, то остаток может быть либо 0 – число делится на 2 без остатка, либо 1 – число не делится на 2 без остатка. Поэтому любое число является либо четным, либо нечетным и третьего не существует. Очевидно, что все целые числа, записанные по порядку, чередуют свою четность: если некоторое число четное, что следующее за ним – нечетное, а затем будет снова четное число. Если в записи числа присутствует множитель 2, то оно делится на 2 без остатка, а значит, является четным.

Анализ. Самое простое при решении данного задания – взять подставить вместо числа n любое нечетное число, например, 3 и посмотреть, четным или нечетным окажется результат, однако я приведу более подробное и правильное решение.

Решение. По условию сказано, что b – нечетное число, значит, его можно записать в виде b=2n+1, тогда

1)    b+16=2n+1+16=2n+16+1=2(n+8)+1 – нечетное число (2(n+8) – четное, так как содержит множитель 2, а значит, делится на 2 без остатка, а 2(n+8)+1 – следующее за ним, значит, нечетное)

2)    2b=2(2n+1) – четное число, так как содержит множитель 2.

3)    b+121=2n+1+121=2n+122=2(n+61) – четное число

4)    b+64=2n+1+64=2n+64+1=2(n+32)+1 – нечетное число

5)    b+144=2n+1+144=2n+144+1=2(n+72)+1 – нечетное число

Ответ: 4.

A10. Делители числа.

Задание. Найдите сумму всех общих натуральных делителей чисел 42, 56, 84.
Варианты ответов.

1. 23;
2. 9;
3. 24;
4. 26;
5. 10.

Теория. здесь

Анализ. Не путать с понятием «наибольший общий делитель». Общим делителем называется число, на которое делятся все числа, а наибольший общий делитель – наибольшее из таких чисел, на которые делятся все числа.

Так же не путать с разложением на линейные множители. 

Решение. Здесь мы будем раскладывать на простые множители, а затем искать общие. Раскладываем числа на простые множители

42=2∙3∙7;

56=2∙2∙2∙7;

84=2∙2∙3∙7

Общие делители: 2, 7, 14 и не забываем, что 1 является делителем любого числа, поэтому он тоже общий!

1+2+7+14=24.

Ответ.  3

В5, задача на числа (отношение делимости)

Задание. Натуральные числа a и b, большие 1, являются взаимнопростыми. Найдите сумму чисел a и b, если их произведение равно 368.

Теория. Здесь, нам особо пригодится то, что НОК двух взаимнопростых чисел равен их произведению.

Анализ. Если речь идет о делимости чисел, то необходимо составить НОК этих чисел, а дальше выбирать из него группами числа, исходя из дополнительных условий в задаче.

Решение. Так как НОК этих чисел равен 368, разложим его на простые множители: 

В условии сказано, что числа являются взаимнопростыми, это значит, что при разложении на простые множители, у них нет общих делителей. Получается, что для того чтобы составить эти числа, нам нужно брать группами множители из разложения так, чтобы ни один из этих множителей не попадал одновременно в оба числа. Существует всего два таких способа:

1. 2•2•2•2•23 и 1
2. 2•2•2•2 и 23

Но в условии сказано, что оба числа больше 1, значит остается только второй способ. Получаем, что это числа 16 и 23, а их сумма равна 16+23=39

Ответ. 39

Числовые множества. Отношение делимости на множестве натуральных чисел.

Противоположные числа в сумме дают 0. Например, 2 и −2; −13 и 13. Произведение обратных чисел равно 1. Например, 10 и 1/10; −2/3 и −3/2.

Натуральные числа (ℕ) – это числа, которые используются при счете: 1;2;3;… 

Натуральные числа, им противоположные и число 0 образуют множество целых чисел (ℤ): …; −2; −1; 0; 1; 2...

Рациональные числа (ℚ) – это числа, представимые в виде дроби 𝑝/𝑞, где 𝑝− целое число, 𝑞−натуральное число. Например, 1; −5; 0; −74; 514; 2,5, 13/8, 1,(3)… 

Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными (𝕀): √5; −√19; π, e…

Иррациональные и рациональные числа вместе образуют множество действительных чисел (ℝ).

На множестве натуральны чисел существует понятие делимости

Делителем числа 𝑎 называется такое число, которое делится на 𝑎 без остатка. Число, для которого число 𝑏 является делителем, называется кратным числу 𝑏.

Натуральное число, имеющее только 2 делителя (единицу и само это число) называется простым. Например, 7 делится без остатка только на 1 и 7. Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Например, 6 делится без остатка на 1, 2, 3 и 6. Значит, оно является составным. Число 1 не является ни простым, ни составным, т.к. имеет только 1 делитель – 1.

Простые числа первой двадцатки: 2;3;5;7;11;13;17;19.

Признаки делимости:

На 2 делятся четные числа (которые оканчиваются на 0;2;4;6;8)

На 3 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например, 672⋮3 (6+7+2=15⋮3).

На 5 делятся числа, которые оканчиваются на 0 и 5.

НОК и НОД чисел

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел 𝑎 и 𝑏 – это наибольшее из всех натуральных чисел, на которое делятся и 𝑎 и 𝑏 без остатка.

Если НОД некоторых чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел 𝑎 и 𝑏 – это такое наименьшее из натуральное чисел, которое делится на 𝑎 и 𝑏 без остатка.

НОК двух взаимно простых чисел равен их произведению.

Для нахождения НОД числа раскладываются на простые множители, а затем выписывается общее из разложений.

Для нахождения НОК числа раскладываются на простые множители, затем выписывается одно (любое) разложение полностью и дописывается, чего не хватает из остальных разложений.

НОК и НОД двух чисел обладают следующим свойством: НОК (a, b) • НОД(a, b) = a • b

Примеры заданий из тестов:
A8, РТ-18(2 этап)
B7, РТ-18(2 этап)
B5, РТ-18(3 этап)
B7, РТ-19(1 этап)
А10, РТ-19(2 этап)
А1, РТ-19(3 этап)