B11. Задача о числах

Задание.Найдите все пары (m; n) целых чисел, которые связаны соотношением

 Пусть k – количество таких пар, m0 – наименьшее из значений m, тогда значение k∙m0 равно…

 Анализ.

Решение.

Существует только два квадрата, которые отличаются на 5 – это 4 и 9. Поэтому

Составляем всевозможные пары из этих чисел:

(0; 3); (-6; 3); (0; -1); (-6; -1).

Получаем, что всего пар 4, а меньшее из значений m=-6.

Искомое произведение -6*4=-24.

Ответ. -24

В5, задача на числа (отношение делимости)

Задание. Натуральные числа a и b, большие 1, являются взаимнопростыми. Найдите сумму чисел a и b, если их произведение равно 368.

Теория. Здесь, нам особо пригодится то, что НОК двух взаимнопростых чисел равен их произведению.

Анализ. Если речь идет о делимости чисел, то необходимо составить НОК этих чисел, а дальше выбирать из него группами числа, исходя из дополнительных условий в задаче.

Решение. Так как НОК этих чисел равен 368, разложим его на простые множители: 

В условии сказано, что числа являются взаимнопростыми, это значит, что при разложении на простые множители, у них нет общих делителей. Получается, что для того чтобы составить эти числа, нам нужно брать группами множители из разложения так, чтобы ни один из этих множителей не попадал одновременно в оба числа. Существует всего два таких способа:

1. 2•2•2•2•23 и 1
2. 2•2•2•2 и 23

Но в условии сказано, что оба числа больше 1, значит остается только второй способ. Получаем, что это числа 16 и 23, а их сумма равна 16+23=39

Ответ. 39

B7 текстовая задача на числа (с использованием свойств НОК и НОД)

И еще одна очень легкая текстовая задача!

Задание. НОК(a, b)•НОД(a, b)=1536. Найдите число a, если оно больше числа b на 40.

Анализ. Это действительно очень легкая задача на составление уравнения, в которой необходимо использовать только одно свойство НОК и НОД чисел, и даже не нужно вспоминать, что это такое :) На то, что нужно составлять уравнение, указывает тот факт, что у нас две неизвестных величины, которые связаны между собой некоторым условием (a больше  b на 40).

Теория. Известно следующее свойство: НОК(a, b)•НОД(a, b)=a•b. больше теории здесь

Решение. Итак, наша задача свелась к следующей: произведение двух чисел равно 1536. Найдите большее из них, если оно больше меньшего на 40.

Пусть x - большее число (целесообразно взять за x именно большее, так как его необходимо найти. Тогда меньшее число x-40. Зная, что их произведение равно 1536, составим уравнение:

Так как в задаче идет речь о понятиях НОК и НОД, вспоминаем, что они относятся только к натуральным числам, значит отрицательный корень отпадает.

За x мы принимали большее число, его и необходимо найти.

Ответ. 64