Страницы

пятница, 21 февраля 2020 г.

А20. Стереометрия (развертка)


Задание. На рисунках 1 и 2 изображены прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD и его развертка. Найдите длину ломаной B1D1KB, если ےC1B1D1=60°, CD=9 и точки B1, D1, K и B лежат на одной прямой.
Варианты ответов:
1)    27;
2)    27√2;
3)    81√3/2;
4)    12√3+6;
5)    12√3+9.
Решение
Длину отрезка B1D1 найдем из прямоугольного треугольника B1C1D1, у которого C1D1=CD=9, ےC1B1D1=60° по условию, значит, sin( ےC1B1D1)=C1D1/B1D1, откуда B1D1=C1D1/sin ےC1B1D1=9/(√3/2)=18/√3=6√3, B1C1=3√3 как катет, лежащий против угла в 30°.
Далее, так как точки B1, D1, K и B лежат на одной прямой, то ےAKB=ےC1B1D1=60° как соответственные при AA1||CB1 и секущей BB1, а ےAKB=ےD1KA1 как вертикальные.
Длину D1K найдем из прямоугольного треугольника D1KA1, у него D1A1= B1C1=3√3, ےD1KA1=60°, значит sin( ےA1KD1)=A1D1/KD1, откуда KD1=A1D1/sin 60°=(3√3)/(√3/2)=6.
Длину BK найдем из прямоугольного треугольника BKA, у него AB= CD=9, ےAKB=60°, значит sin( ےAKB)=AB/KB, откуда KB=AB/sin 60°=9/(√3/2)=6√3.
Длина ломаной B1D1KB=B1D1+D1K+KB=6√3+6+6√3=12√3+6.
Ответ. 4

A19. Тригонометрическое уравнение


Задание. Найдите сумму (в градусах) наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения

Варианты ответов:
1)    15;
2)    45;
3)    70;
4)    60;
5)    20.
Теория
sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)
Решение
При n=0, x=70° – наименьший положительный корень

При n=-1, x=70°-120°=-50° – наибольший отрицательный корень.
Их сумма 70°+(-50°)=20°
Ответ. 5



четверг, 20 февраля 2020 г.

A18. Стереометрия


Задание. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является треугольник ABC, в котором ےA=75°, ےB=45°, а радиус описанной около него окружности равен 3√3. Найдите радиус окружности, описанной около грани AA1B1B, если площадь этой грани равна 108.
Варианты ответов
1)    7;
2)    15;
3)    7,5;
4)    6√2;
5)    9,5.
Теория
Прямая треугольная призма – это призма, в основании которой лежит треугольник, а боковые грани являются прямоугольниками. Сумма углов треугольника равна 180°. Теорема синусов: a/(sinA)=2R, центр описанной вокруг прямоугольника окружности лежит в точке пересечения его диагоналей, значит, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности, равен половине его диагонали. Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.
Решение
Рассмотрим треугольник ABC у него ےC=180°-(75°+45°)=60°. По теореме синусов: AB/(sinےC)=2R; AB=2Rsinے60°=2∙3√3∙(√3/2)=9.
Рассмотрим прямоугольник AA1B1B, у него AB=9, S=108; S=ABBB1, откуда BB1=S/AB=108/9=12.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB1. По теореме Пифагора AB12=AB2+BB12=81+144=225, откуда AB1=15, то есть диагональ прямоугольника равна 15, тогда радиус описанной вокруг него окружности равен 15/2=7,5.
Ответ. 3

A17. Линейное уравнение

Задание. Укажите номер промежутка, которому принадлежит корень уравнения
Варианты ответов
1)    (-4; -3);
2)    (-3; -2);
3)    (1; 2);
4)    (2; 3);
5)    (3; 4).
Анализ. простое линейное уравнение, решаемое путем равносильных переходов
Решение
Ответ. 5


вторник, 18 февраля 2020 г.

A16. Составление выражения, перевод единиц измерения


Задание. На консервном заводе было 125 ящиков с яблоками по a кг в каждом. Составьте выражение, которое определяет, сколько центнеров яблок стало на консервном заводе после того, как привезли еще яблоки на n машинах, в каждой из которой было 30 ц 5 кг яблок.
Варианты ответов:
1)    30,05n+1,25a;
2)    30,05n+125a;
3)    30,5n+1,25a;
4)    30,5n+12,5a;
5)    30,05n+12,5a.
Анализ
Внимание! Разные единицы измерения! Переводим все величины в те, в которых требуется дать ответ – то есть в центнеры.
1ц=100кг, 1кг=1/100ц.
Для того, чтобы узнать, сколько яблок стало, надо к массе яблок, которая была на складе, прибавить массу привезенных на склад яблок. (это должно быть очевидно, но вдруг…)
На заводе было 125 ящиков с яблоками по a кг в каждом, a кг = a∙1/100 ц=0,01a ц. Значит, было на заводе 125∙0,01a=1,25a ц яблок. Привезли еще яблоки на n машинах, в каждой из которой было 30 ц 5 кг яблок. 30 ц 5 кг = 30+5∙1/100=30,05 ц. Всего привезли 30,05∙n ц яблок. Итого яблок стало 1,25a+30,05n.
Ответ. 1