Страницы

четверг, 20 февраля 2020 г.

A18. Стереометрия


Задание. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является треугольник ABC, в котором ےA=75°, ےB=45°, а радиус описанной около него окружности равен 3√3. Найдите радиус окружности, описанной около грани AA1B1B, если площадь этой грани равна 108.
Варианты ответов
1)    7;
2)    15;
3)    7,5;
4)    6√2;
5)    9,5.
Теория
Прямая треугольная призма – это призма, в основании которой лежит треугольник, а боковые грани являются прямоугольниками. Сумма углов треугольника равна 180°. Теорема синусов: a/(sinA)=2R, центр описанной вокруг прямоугольника окружности лежит в точке пересечения его диагоналей, значит, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности, равен половине его диагонали. Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.
Решение
Рассмотрим треугольник ABC у него ےC=180°-(75°+45°)=60°. По теореме синусов: AB/(sinےC)=2R; AB=2Rsinے60°=2∙3√3∙(√3/2)=9.
Рассмотрим прямоугольник AA1B1B, у него AB=9, S=108; S=ABBB1, откуда BB1=S/AB=108/9=12.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB1. По теореме Пифагора AB12=AB2+BB12=81+144=225, откуда AB1=15, то есть диагональ прямоугольника равна 15, тогда радиус описанной вокруг него окружности равен 15/2=7,5.
Ответ. 3

Комментариев нет:

Отправить комментарий