Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, у которой каждый следующий член, начиная со второго, больше предыдущего на одно и то же число. Число, на которое каждый следующий член больше(!!!) предыдущего, называют разностью арифметической прогрессии (обозначают d). Если каждый следующий член меньше предыдущего, значит разность прогрессии будет отрицательной. Формула n-го члена показывает зависимость между номером члена в прогрессии и его значением. Для того, чтобы найти, чему равно значение первого члена прогрессии, необходимо в формулу подставить вместо n=1. Чтобы найти значение второго члена – подставить n=2 и т.д. Например, если арифметическая прогрессия (a_n) задана формулой n-го члена a_n=9-3n, для нахождения первых четырех ее членов подставляем вместо n в формулу соответственно 1, 2, 3 и 4:

a₁=9-3∙1=6; a₂=9-3∙2=3 a₃=9-3∙3=0; a₄=9-3∙4=-3.

Разность этой прогрессии равна d=a₄- a₃= a₃- a₂= a₂- a₁=-3.

Выведем (именно выведем, а не запомним) формулы, касающиеся арифметической прогрессии.

Замечаем, что a₂=a₁+d
a₃=a₂+d=(a₁+d)+d=a₁+2d
a₄=a₃+d=(a1+2d)+d=a₁+3d
a₅=a₄+d=(a₁+3d)+d=a₁+4d
…
a_n=a₁+(n-1)d

Таким образом, для нахождения любого члена арифметической прогрессии необходимо знать его номер, первый член и разность этой прогрессии.

Вернемся к прогрессии, заданной формулой n-го члена a_n=9-3n. Выписав несколько ее первых членов (например, 10), заметим, что сумма членов, равноотстоящих от концов прогрессии, равна сумме крайних членов.

a₁=9-3∙1=6; a₂=9-3∙2=3 a₃=9-3∙3=0; a₄=9-3∙4=-3 a₅=9-3∙5=-6; a₆=9-3∙6=-9 a₇=9-3∙7=-12; a₈=9-3∙8=-15 a₉=9-3∙9=-18; a₁₀=9-3∙10=-21

Действительно, a₁+ a₁₀ = a₂ + a₉ = a₃+ a₈=…=-15

Поэтому, для нахождения суммы первых десяти членов прогрессии (an) не нужно искать все члены и составлять сумму из десяти слагаемых, можно найти первый и десятый ее члены, вычислить их сумму и умножить на количество пар (если слагаемых 10, то пар будет 5). Обозначим, S₁₀=(a₁+a₁₀)∙5=-15∙5=-75

Эта формула верна и для нахождения суммы первых n членов любой арифметической прогрессии. Можно найти сумму первого и n-го членов и умножить эту сумму на n/2 – количество пар. Принято записывать в следующем виде:

Подставив вместо a_n=a₁+(n-1)d, получим другой вид этой же формулы:

Так же при решении задач, связанных с арифметической прогрессией часто может понадобиться свойство членов арифметической прогрессии: каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:

Задачи по данной теме в РТ:
РТ-20, 1 этап (В1)
РТ-20, 1 этап (В6)
РТ-21, 1 этап (А16)

B11. Текстовая задача

Задание. Два мотоциклиста выехали одновременно из одного пункта и едут в одном направлении. Первый мотоциклист едет со скоростью 52 км/ч, а скорость второго на 8 км/ч больше скорости первого. Через 30 минут из этого же пункта в этом же направлении выехал третий мотоциклист, который обогнал второго на 4 часа позже, чем первого. Найдите скорость (в км/ч) третьего велосипедиста.

Решение

Скорость второго мотоциклиста 52+8=60 км/ч, 30 мин = ½ ч

Пусть скорость третьего мотоциклиста x км/ч и он догнал первого через t часов после начала движения первого и второго мотоциклистов, тогда первый к моменту встречи проехал 52t км, а третий – x(t-1/2) км. Эти расстояния равны, поэтому первое уравнение: 52t=x(t-1/2). Аналогично составляем второе уравнение. К моменту встречи второго и третьего мотоциклистов второй проехал 60(t+4) км, а третий x(t+4-1/2) км. Получаем уравнение: 60(t+4)= x(t+4-1/2). Далее решаем систему уравнений, причем выражаем t через x, так как x нужно найти в задаче:

По условию задачи ответ, равный 48 км/ч не подходит по смыслу. Иначе, мотоциклист, имеющий скорость 48 км/ч не обогнал бы мотоциклистов, имеющих скорость 52 км/ч и 60 км/ч. Поэтому подходит ответ, раный 65.

Ответ. 65

B10. Уравнение с модулем

Задание. Найдите увеличенную в 12 раз сумму корней уравнения

Решение.

Делаем обратную замену:

Увеличенная в 12 раз сумма корней 12(4+1-1/3)=12∙4+12∙1-4=48+12-4=56

Ответ. 56

B9. Правильная пирамида

Задание. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если длина диагонали еее основания равна 2√2 и плоский угол при вершине равен 2arctg(1/9).

Решение

S_бок=1/2P_осн∙l (l – апофема). Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, длдина его диагонали по условию 2√2, так как d=a√2 (a – сторона квадрата), то сторона основания равна 2. Тогда периметр основания равен 8. Боковая грань BSC является равнобедренным треугольником, апофема SF служит медианой, высотой и биссектрисой, значит ےBSC=2ےFSC, тогда ےFSC=arctg(1/9). Из прямоугольного треугольника FSC с катетом FC=1/2BC=1 и острым углом ےFSC=arctg(1/9) находим второй катет SF=9. То есть апофема пирамиды равна 9. Далее находим площадь боковой поверхности

S_бок=1/2P_осн∙l =1/2∙8∙9=36.

Ответ. 36

B8. Задача на арифметическую прогрессию

Задание. Найдите сумму первых пятидесяти натуральных чисел, больших 8, которые при делении на 4 дают в остатке 2.
Теория тут

Решение.

Любое натуральное число, кратное 4 (делится на 4 без остатка) можно записать в виде 4n, где n – натуральное. Число, записанное в виде 4n+2 при делении на 4 будет давать в остатке 2. Действительно, 4∙1+2=6 при делении на 4 дает в остатке 2, число 4∙2+2=10 при делении на 4 дает в остатке 2, число 4∙3+2=14 при делении на 4 дает в остатке 2. Причем, эти все числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 4 (каждое следующее, начиная со второго, больше предыдущего на 4). Первое число, удовлетворяющее условию, что числа должны быть больше 8, - число 10. Далее находим сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии с первым членом 10 и разностью 4:

Ответ. 5400

B7. Площадь параллелограмма

Задание. Длина одной из сторон параллелограмма равна длине его диагонали и равна 7, длина второй диагонали равна √57. Найдите значение выражения S², где S – площадь параллелограмма.

Решение

По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, значит, CO=(√57)/2, OD=7/2. По теореме косинусов из ΔCOD

Теперь, основываясь на основное тригонометрическое тождество, найдем:

Находим S(ΔCOD)

Так как CO является медианой треугольника BDC, а медиана разбивает треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, то S(ΔBDC)=2∙2√3=4√3. А площадь параллелограмма равна 2∙4√3=8√3.

S²=(8√3)²=64∙3=192.

Ответ. 192

B6. Дробно-рациональное неравенство (область определения функции)

Задание. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции

Теория   тут

Решение

Сумма целых решений -8-7-6-5-3-2-1+0+1=-31

Ответ. -31

B5. Правильный многоугольник

Задание. Длина стороны правильного n-угольника A₁A₂…A_n равна 12. Угол A₁OA₂=45°, где O – центр описанной около многоугольника окружности. Найдите периметр многоугольника.

Теория

Угол правильного n-угольника находим по формуле

Решение

Узнав количество сторон (n), найдем периметр. Для нахождения количества сторон, найдем угол n-угольника. По условию, Угол A₁OA₂=45°, а поскольку, Δ A₁OA₂ – равноберенный, то угол при основании равен (180-45)/2=135/2, тогда каждый внутренний угол многоугольника равен 135°. Теперь, подставив в формулу, найдем количество сторон этого многоугольника

Значит, количество сторон 8, тогда периметр равен 8∙12=96

Ответ. 96