B9. Правильная пирамида

Задание. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если длина диагонали еее основания равна 2√2 и плоский угол при вершине равен 2arctg(1/9).

Решение

S_бок=1/2P_осн∙l (l – апофема). Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, длдина его диагонали по условию 2√2, так как d=a√2 (a – сторона квадрата), то сторона основания равна 2. Тогда периметр основания равен 8. Боковая грань BSC является равнобедренным треугольником, апофема SF служит медианой, высотой и биссектрисой, значит ےBSC=2ےFSC, тогда ےFSC=arctg(1/9). Из прямоугольного треугольника FSC с катетом FC=1/2BC=1 и острым углом ےFSC=arctg(1/9) находим второй катет SF=9. То есть апофема пирамиды равна 9. Далее находим площадь боковой поверхности

S_бок=1/2P_осн∙l =1/2∙8∙9=36.

Ответ. 36