Репетитор по математике (Полоцк, Новополоцк): Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, у которой каждый следующий член, начиная со второго, больше предыдущего на одно и то же число. Число, на которое каждый следующий член больше(!!!) предыдущего, называют разностью арифметической прогрессии (обозначают d). Если каждый следующий член меньше предыдущего, значит разность прогрессии будет отрицательной. Формула n-го члена показывает зависимость между номером члена в прогрессии и его значением. Для того, чтобы найти, чему равно значение первого члена прогрессии, необходимо в формулу подставить вместо n=1. Чтобы найти значение второго члена – подставить n=2 и т.д. Например, если арифметическая прогрессия (a_n) задана формулой n-го члена a_n=9-3n, для нахождения первых четырех ее членов подставляем вместо n в формулу соответственно 1, 2, 3 и 4:

a₁=9-3∙1=6; a₂=9-3∙2=3 a₃=9-3∙3=0; a₄=9-3∙4=-3.

Разность этой прогрессии равна d=a₄- a₃= a₃- a₂= a₂- a₁=-3.

Выведем (именно выведем, а не запомним) формулы, касающиеся арифметической прогрессии.

Замечаем, что a₂=a₁+d
a₃=a₂+d=(a₁+d)+d=a₁+2d
a₄=a₃+d=(a1+2d)+d=a₁+3d
a₅=a₄+d=(a₁+3d)+d=a₁+4d
…
a_n=a₁+(n-1)d

Таким образом, для нахождения любого члена арифметической прогрессии необходимо знать его номер, первый член и разность этой прогрессии.

Вернемся к прогрессии, заданной формулой n-го члена a_n=9-3n. Выписав несколько ее первых членов (например, 10), заметим, что сумма членов, равноотстоящих от концов прогрессии, равна сумме крайних членов.

a₁=9-3∙1=6; a₂=9-3∙2=3 a₃=9-3∙3=0; a₄=9-3∙4=-3 a₅=9-3∙5=-6; a₆=9-3∙6=-9 a₇=9-3∙7=-12; a₈=9-3∙8=-15 a₉=9-3∙9=-18; a₁₀=9-3∙10=-21

Действительно, a₁+ a₁₀ = a₂ + a₉ = a₃+ a₈=…=-15

Поэтому, для нахождения суммы первых десяти членов прогрессии (an) не нужно искать все члены и составлять сумму из десяти слагаемых, можно найти первый и десятый ее члены, вычислить их сумму и умножить на количество пар (если слагаемых 10, то пар будет 5). Обозначим, S₁₀=(a₁+a₁₀)∙5=-15∙5=-75

Эта формула верна и для нахождения суммы первых n членов любой арифметической прогрессии. Можно найти сумму первого и n-го членов и умножить эту сумму на n/2 – количество пар. Принято записывать в следующем виде:

Подставив вместо a_n=a₁+(n-1)d, получим другой вид этой же формулы:

Так же при решении задач, связанных с арифметической прогрессией часто может понадобиться свойство членов арифметической прогрессии: каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов: