B6. Планиметрия.

Задание. Биссектриса угла ABC (ﮮABC=60°) пересекает сторону AD в точке H так, что AH:HD=2:1, BH=8. Найдите значение S², где S – площадь параллелограмма ABCD.

Решение

Треугольник ABH – равнобедренный (углы ABH и AHB равны углу HBC, а значит, равны между собой. ﮮABH=ﮮHBC т.к. BH – биссектриса по условию, ﮮAHB=ﮮHBC=30° как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей BH

Ответ. 768

B5. Тригонометрическое уравнение

 Задание. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный и наименьший положительный корни уравнения sin 9x∙cos 9°+cos 9x∙sin 9°=-1. В ответ запишите их произведение.

Решение

При n=0, x=-11 – наибольший отрицательный

При n=1, x=-11+40=29 – наименьший положительный

Произведение: -11∙29=-319

Ответ. -319

B4. Угол между плоскостями

 

Теория  

Решение. Пусть CH – расстояние от точки C до плоскости β, а CM – расстояние от точки C до прямой l. По определению расстояния CH – перпендикуляр на плоскость β, CM┴l. Теорема о трех перпендикулярах: CH – перпендикуляр, CM – наклонная MH – проекция, прямая l перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и проекции. 

φ – угол между плоскостями, по определению он равен углу между перпендикулярами к прямой l, то есть между прямыми HM и CM, то есть углу CMH. Треугольник CHM – прямоугольный, у которого катет CH в 16 раз меньше гипотенузы CM. Обозначив CH=x, CM=16x, по теореме Пифагора MH=x√255, значит, tg φ – это отношение CH к MH, то есть tg φ = 1/√255, тогда 1/(tg² φ)=255.

Ответ. 255

B3. Текстовая задача

 Задание. Из спичечного коробка взяли третью часть спичек, в результате в коробке осталось более 27 спичек. Если бы из коробки взяли 22 спички, то их осталось бы меньше половины. Сколько спичек было в коробке первоначально?

Решение

Так как третья часть спичек должна выражаться натуральным числом, то первоначальное количество спичек должно делиться на 3. Пусть в коробке было 3x спичек, тогда, после того, как из коробка взяли третью часть, а это x спичек, в коробке осталось 3x-x=2x спичек. По условию задачи 2x>27. Если бы из коробка, в котором лежит 3x спичек, взяли 22 спички, в нем осталось бы 3x-22. По условию задачи это число больше половины от 3x, то есть больше 1,5x. Составим систему неравенств и решим ее.

По смыслу задачи подходит только натуральное значение x, то есть x=14. Значит, изначально в коробке было 14∙3=42 спички.

Ответ. 42

B2. Обратные тригонометрические функции

 Задание. Выберите три верных неравенства

Теория

Решение

Ответ 245

B1. Свойства элементарных функций

Задание. Для начала каждого из предложений А – В подберите его окончание 1 – 6 так, чтобы получилось верное утверждение.

Решение

Ответ. А1Б3В6

A20. Сечение

Задание. SABC – правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 13. Точка M лежит на ребре SB так, что BM:MS=2:1, NϵSA, NA:AS=1:3 (см. рис). Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M и N и параллельная ребру BC, пересекает основание ABC пирамиды.

Варианты ответов:

Решение

Построим искомый отрезок: соединим точки

M и N, так как они лежат в плоскости ABS. Пусть отрезок MN пересекает ребро AB в точке X. Проведем через X отрезок параллельный BC, который пересекает ребро AC в точке Y. XY – искомый отрезок. Для его нахождения необходимо узнать, в каком отношении точка X разбивает ребро AB. Для этого проведем прямую MP в плоскости ABS (P – точка пересечения MP и SA. AP:PS=BM:MS=2:1. SM=SP=MP. Пусть AN=x, тогда AS=3x, откуда AP=2x, SP=MP=x. Рассмотрим подобные треугольники NAX и NMP, k=AN:NP=AX:MP, k=1/3, значит, AX=x/3, учитывая, что AB=3x, получаем, AX:AB=1:9, то есть AXY – равносторонний треугольник со стороной AB/9=13/9= 1 4/9.

Ответ. 2

Видео разбор наиболее сложных заданий части а

A19. Неравенство с модулем

 Задание. Найдите сумму всех целых решений неравенства |x²-3x-13|>x²-3x-13

Варианты ответов:

1)    -9;

2)    9;

3)    0;

4)    -12;

5)    12.

Анализ

Обратим внимание, что выражение под модулем и выражение в правой части – равные многочлены, поэтому проанализируем, при каких a верно неравенство |a|>a. Понятно, что нам нужно рассмотреть случаи, когда a – отрицательное, положительное и равное нулю. Подставляем любые значения a и смотрим, верно ли неравенство:

При a=-1: |-1|>-1 – верно;

При a=0: |0|>0 – неверно.

При a=1: |1|>1 – неверно.

Решение

То есть, неравенство верно, когда под модулем стоит отрицательное выражение, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
x²-3x-13<0 – квадратное неравенство.

Рассмотрим функцию y= x²-3x-13. График – парабола, ветви направлены вверх, нули: D=9+4∙13=61. Корни находим приблизительно: x₁=(3-7,8)/2=-2,2; x₂=(3+7,8)/2=5,4. Строим схематично график:

Решение неравенства xϵ(-2,2; 5,4). Целые значения переменной -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. Сумма 3+4+5=12.

Ответ. 5