Финишная прямая перед ЦТ

До ЦТ осталось совсем мало времени и я надеюсь, что уже все успели зарегистрироваться (если нет, сделайте это в ближайшее время) и теперь ваша подготовка должна свестись к повторению уже изученных тем.

Мы приступили к интегрированным занятиям, когда каждый в своем темпе и по своим темам решает задания, задает вопросы, работает над своими "слабыми местами"

Для тех, кто готовится к тесту и параллельно заглядывает на мой сайт, у меня хорошая новость: за день до теста, утром 17 июня, я выложу свою версию итогового обобщающего теста, который я составила, анализируя задания 2 и 3 этапов репетиционного тестирования, а также демонстрационного теста. Вечером того же дня появятся ответы на него, с которыми можно будет свериться. Я желаю всем сил и терпения, ведь от вас потребуется особенная концентрация и усердие в эти теплые, почти летние дни.

Советую обратить внимание на задания следующего типа и изучить следующую теорию:

Теория по параболе (пример в 3 этапе и во 2 этапе)

Основные свойства функций (пример в 3 этапе и во 2 этапе)

Повторите числовые множества (было во 2 этапе и задача в Б-части 2 этапа)

Обязательно изучите теорию по многочленам и одночленам (пример в 3 этапе, а во 2 этапе это была вообще Б-часть)

Вспомните, как решаются неравенства (пример в 3 этапе и внимание на Б-часть 3 этапа и Б-часть 2 этапа, а здесь квадратное неравенство из 2 этапа)

Внимание иррациональным уравнениям (пример в 3 этапе и во 2 этапе)

Свойства логарифмов (пример в 3 этапе)

Обратные тригонометрические функции (3 этап, 2 этап)

Последовательности (3 этап, 2 этап)

Свойство точки, принадлежащей графику функции (3 этап, 2 этап)

А1, числовая прямая

Задание

Анализ. Для решения необходимо определить цену деления числовой прямой, расставить на ней целые числа и посмотреть, ближе к какому целому числу может располагаться заданное число (или совпадать с каким-то числом)
Решение. Два соседних подписанных деления числовой прямой 0 и 1, между ними располагается 2 деления, значит цена одного деления (1-0):2=0,5. Поэтому расставим целые числа на числовой прямой:

Так как корень третьей степени не извлекается из 63, то это число - иррациональное. Необходимо найти два таких целых числа, из которых можно извлечь корень третьей степени, между которыми стоит число 63: 

Теперь очевидно, что заданному числу соответствует точка B.

Ответ. 2

А2, числовое неравенство

Задание

Анализ. Можно решать это задание непосредственной подстановкой вместо m заданных дробей, последующим вычислением и определением, верно ли числовое неравенство.
Решение. Я решу для начала неравенство:
m+2,4<2,7;
m<2,7-2,4;
m<0,3
Теперь очевидно, что дробь 1/5=0,2 удовлетворяет данному условию, а так как ответ единственный, остальные дроби можно не проверять
Ответ. 1

А3, окружности

Задание

Анализ. Задача аналогичная А4, применяется свойство измерения отрезков. Две неизвестные величины, связанные между собой соотношением, поэтому введем x, получим уравнение и найдем интересующие нас величины.

Теория. Свойство измерение отрезков: длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой.

Решение. Пусть BC = x, тогда AC = 3BC = 3x.

По условию AB=52

AB=AC+CB;

52=3x+x;

52=4x;

x=52:4;

x=13;

Значит, BC=13 (Радиус меньшей окружности); AC=3•13=39 (радиус большей окружности)

MA=AC=39; 

MB=MA+AC+CB=39+39+13=91

Ответ. 2

А4, свойство измерения углов

Задание 

Анализ. Задача, аналогичная А3. Обычная геометрическая задача, для решения которой надо знать свойство измерение углов, величину развернутого угла, а так как далее у нас возникнет две неизвестные, но нам задана связь между этими неизвестными, введем x. Внимательно давайте ответ на вопрос задачи - указывайте то, что спрашивают: ∠AOB!!!

Теория. Свойство измерения углов:

Если из вершины угла проведен луч, который разбивает угол на два угла, то градусная мера (большого) угла равна сумме градусных мер углов, на которые луч разбивает этот угол.

Градусная мера развернутого угла 180°

Решение. ∠AOM=∠AOB+∠BOC+∠COM

Пусть ∠COM=x, тогда ∠AOB=x+20, значит

180=(x+20)+98+x;

180=x+20+98+x;

180-20-98=2x;

62=2x;

x=62:2;

x=31

Значит, ∠COM=31°, тогда ∠AOB=31°+20°=51°.

Ответ. 4

B2, свойства функции

Задание

Анализ. Для решения этого задания удобнее всего определять свойства функции по графику, однако нам известна только лишь часть графика (для x ≥ 0). Поэтому построим сначала график на всей области определения функции, учитывая то, что функция нечетная, а дальше будем определять ее свойства.

Теория будет полезно изучить

Решение. Для начала отобразим график симметрично относительно оси Oy.

Если бы в задании было сказано, что функция четная, это был бы ее график, однако нам сказано, что функция нечетная, а ее график, как известно, симметричен относительно начала координат, поэтому мы достроенную часть теперь отображаем симметрично относительно оси Ox:

Полученный график и будет графиком нечетной функции (красно-черная ломаная).

Определяем ее свойства

1. Функция возрастает на промежутке [-2,5; -0,5]. Промежутки возрастания, убывания (монотонности) и промежутки знакопостоянства указываются по x, поэтому находим по x указанный промежуток и смотрим, как ведет себя функция на нем. При x=-2,5 значение функции приблизительно -3,2, а при x=-0,5 значение функции приблизительно -0,5. По графику видно, что функция на этом промежутке возрастает. Верно.

2. f(-3)=4. В скобках указано значение x ищем его по оси Ox. Соответствующее ему значение функции -4, а не 4, как сказано. Не верно.

3. Наименьшее значение функции равно -4. Верно, это видно по графику.

4. График функции симметричен относительно Oy. Так как функция нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат, а не оси Oy (это график четной функции). Не верно

5. f(x)>0 при x∈[-3; -1]. Находим по x точки -3 и -1 и соответствующие им значения функции. Видим, что на всем промежутке [-3; -1] значения функции отрицательны, т.е. f(x)<0, значит не верно.

6. Функция имеет три нуля. Графически нули функции - это пересечение с осью Ox. График функции пересекает ось Ox трижды. Верно.

Ответ. 136

В10, объем пирамиды

Задание

Анализ. При решении задачи очень важно определить, где будет находиться основание высоты пирамиды. Так как ребра SA и SB равны, то ΔSAB - равнобедренный и SM⏊AB, где M - середина стороны AB. Аналогично CM⏊AB, так как ΔCAB также равнобедренный. Значит, высота пирамиды SO будет падать на CM по ттп., то есть O∊СM.

Теория. Объем пирамиды 

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к ней.

 Площадь треугольника со сторонами a, b и c и полупериметром p, по формуле Герона

Решение. SM находим как высоту из треугольника SAB. Сначала находим его площадь по формуле Герона (стороны треугольника 15; 15; 24, значит, полупериметр (15+15+24):2=27):

Теперь подставляем найденное значение в формулу площади треугольника и выражаем оттуда высоту SM:

Аналогично высота CM в треугольнике ABC так же равна 9 (он равен треугольнику SAB по трем сторонам, значит и высоты, проведенные к равным сторонам, равны).

Теперь совершенно аналогично находим высоту в треугольнике SMC, она же будет высотой пирамиды.

SM = 9; CM = 9; SC = 12; p = (9+9+12):2=15
По формуле Герона ищем площадь:

 Выражаем высоту

Все необходимые величины найдены, можем найти объем пирамиды:

 В ответ записываем необходимое значение:

Ответ. 48

Пора повторять тригонометрию!

На носу май, а это значит, что пора браться за тригонометрию. Я, традиционно, не изучаю со своими учениками ничего нового в последний месяц перед тестом, а изучение курса подготовки к Цт завершаю тригонометрией. У нас уже прошло занятие, на котором мы выводили все формулы и теперь мы усиленно оттачиваем наши навыки в преобразовании тригонометрических выражений и решении тригонометрических уравнений.

С учетом того, что составители предлагают и в РТ, и в демо-РТ задания по тригонометрии примерно одного плана, советую вам обратить внимание на обратные тригонометрические функции и на решение простейших тригонометрических уравнений.

Примеры разобранных заданий
А5, 2 этап РТ
А17, 2 этап РТ
А5, 3 этап РТ
А17, 3 этап РТ

А5, обратные тригонометрические функции

Задание

Решение

Ответ. 4

А6, последовательности

Задание

Анализ. Так как 1 - первый член прогрессии (под номером 1), 6 - второй член прогрессии (под номером 2), 11 - третий член прогрессии (под номером 3), то при подстановке вместо n (номера) в формулы чисел 1, 2 и 3, должно вместо a(n) получаться соответственно 1; 6 и 11. 

Решение. Проверяем каждую формулу.

Для первой:

 Далее смысла проверять нет, так как если хотя бы один из членов не находится по этой формуле, то формула не является формулой n-го члена прогрессии.

Для второй:

 Для третьей:

 Для четвертой:

 Видим, что каждый из членов прогрессии можно найти по этой формуле.

Однако убедимся, что пятая - не является формулой n-го члена для данной прогрессии:

Ответ. 4