A12. Свойство пересекающихся хорд в окружности

Задание. Диаметр CD окружности с центром в точке O и хорда AB пересекаются в точке M (см. рис). Найдите радиус окружности, если CM=6, BM=9, AM=16.

Варианты ответов:

1)    18;

2)    15;

3)    14;

4)    12,5;

5)    12.

Теория

Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то верно равенство: AM∙MB=CM∙MD. (Если хорды пересекаются, то произведения отрезков, полученных в результате пересечения, равны). Так как по определению диаметра, он является хордой, то это справедливо и в случае, если одна из хорд является диаметром. 

Решение

Далее применяем формулу:

16∙9=6∙MD.
MD=24

Далее по аксиоме измерения отрезков: CD=CM+MD=6+24=30 – длина диаметра. Тогда радиус окружности равен половине радиуса и равен 15.

Ответ. 15

A11. Окружность

Задание. Хорды BC и KM окружности пересекаются в точке L. Найдите длину хорды BC, если BL:LC=6:1 и KL=13,5; LM=1,69.

Варианты ответов:

1)    11,83;

2)    13,65;

3)    15,19;

4)    1,95;

5)    6,75

Теория

Если в окружности хорды пересекаются, то они делятся точкой пересечения на пропорциональные отрезки.

Решение По условию BL:LC=6:1, значит, вводим коэффициент пропорциональности x, тогда BL=6x, LC=x.

BL∙LC=KL∙LM
6x∙x=1,69∙13,5
x²=1,69∙13,5:6
x²=1,69∙2,25
x=1,3∙1,5=1,95

Тогда BC=BL+LC=6x+x=7x=7∙1,95=13,65.

Ответ. 2